浅谈函数思想在一元二次方程根的分布问题中的应用

1浅谈函数思想在一元二次方程根的分布问题中的应用[摘要]：应用函数思想研究一元二次方程根的分布理论是高中数学的重要内容，也是历年高考的重要考查项目之一．关于一元二次方程根的分布问题实质是要我们将其化归为一元二次函数，从而借助函数图象从几何意义的角度来判断根的分布情况．本文阐明二次函数与二次方程根的分布的内在关系，归纳出根的分布状态所对应函数应满足的条件．并分类列举范例说明方程根的分布理论在解题中的应用．[关键词]：二次方程根的分布对称轴函数思想二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延．作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．虽然在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。而一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。下面我将主要结合二次函数图象的性质介绍一元二次方程实根分布的充要条件和应用一、二次方程根的分布的一些性质定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根.[3]由定理可得一元二次方程)0(02acbxax根的分布的三个性质：设一元二次方程)0(02acbxax的两个实根为21,xx，且21xx；函数)0()(2acbxaxxf.性质1：方程的根有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkf[1]性质2：221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa[1]证明如下：充分性当0a时，因为方程02cbxax在),(21kk和),(21pp上有且仅有一根由性质1得0)()(21kfkf，且0)()(21pfpf；函数cbxaxxf2)(图象的对称轴为1212xxxx，开口向上cbxaxxf2)(在),(1x上单调递减，且11xk0)()(11xfkf，故0)(2kf；同理可证：0)(,0)(21pfpf当0a时证明过程同上；必要性当0a时，0)(1kf，0)(2kf，0)()(21kfkf，即02cbxax在),(21kk上有根同理方程在),(21pp上有根，且一元二次方程至多有两个不同的实数解，故方程的根满足2221211pxpkxk.性质3：2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacb[1]充分性的证明与性质2的证明过程相同，下面证明必要性：当0a时042acb044)2(2abacabf0)2()(1abfkf，即函数cbxaxxf2)(在)2,(1abk上有零点同理可证函数cbxaxxf2)(在),2(2kab上有零点故2211kxxk二、函数思想在二次方程根的分布问题中的应用（一）、应用函数思想证明二次方程实根的分布情况．当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数)(xfy所决定的方程是0)(xfy，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关系，变成了考虑函数的局部性质。例1:方程)0(02acbxax有一非零实根1x，方程02cbxax有一非零实根2x，求证方程022cbxxa必有一根介于1x、2x之间证明：本题可证其等价结论：0)()(21xfxf，不妨设cbxxaxf22)(，那么应用题设可得：)2()2()()(22212121cbxxacbxxaxfxf2222221121)23()2(axcbxaxxacbxax22212222143)23()2(xxaaxxa0,0,021axx，0)()(21xfxf，于是函数)(xf的图象在区间),(21xx内与x轴有且只有一个交点，故022cbxxa必有一根介于1x、2x之间。例2:已知关于x的实系数二次方程02baxx有两个实数根,求证：2且2是ba42且4b的必要条件.证明：ba42且4b84248bab令函数baxxxf2)(，则222024)2(024)2(abafbaf，3又二次方程02baxx有两个实数根,，故函数)(xf在)2,2(有两个零点，即二次方程02baxx在)2,2(有两个实根2且2（二）、应用函数思想与根的分布解决二次方程中参变量的取值范围．有关参变量的取值范围的问题，若能设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。例3：a为何值时，方程032)1(22axxa的两个实根1x，2x满足不等式)1(212xxx且1x为正的纯小数？解：将方程转化为函数32)1()(22axxaxf，12221aaxx，013221axx当1x为正的纯小数时，则02x，又)1()1(212212xxxxxx即2121xxxx，由此可得23131222aaaa（1）又方程0)(xf的两根1x，2x满足)1,0(1x，)0,(2x，由二次方程根的分布理论知：0)1(0)0(ff，31a或31a（2）由（1）、（2）知：31a或3123a。[2]例4：设)(xf是定义在区间),(上以2为周期的函数，对Zk用kI表示区间)12,12(kk，已知当0Ix时，2)(xxf，（1）求)(xf在kI上的解析式；（2）对自然数k，求集})({上有两个不相等的实根在kIaxxfaM（说明：(1)题在此不再证明，当kIx时，有2)2()(kxxf）解(2)：当Nk且kIx时，利用（1）题的结论，可设方程为axkx2)2(，整理得04)4(22kxakx令224)4()(kxakxxg，则0)(xg在kI上恰有两个不相等实根的充要条件是a满足0)12(0)12(122412016)4(22kgkgkakkkak，化简得1211212280kakaakaa或)(1210Nkka，},1210{NkkaaM。（三）、函数思想与根的分布在解析几何中的应用纵观整个中学教学内容,函数的思想就如一根红线把中学教学的各个分支紧紧地连在一起,构成有机的知识网络。几乎贯串于整个中学数学,在解析几何中到处可以看到它的影子.一些表面上看来与函数无关的问题,我们若用函数的思想去思考,往往可以收到意想不到的效果.例5．若抛物线12mxxy和端点为)3,0(A，)0,3(B的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围。4解：把线段AB的方程为3yx，即)30(3xxy代入12mxxy整理得04)1()(2xmxxf则原命题等价于0)(xf在)3,0(上有两个不等实根，故0)1(39)3(04)0(3310016)1(2mffmm，解得3103mm的取值范围是)310,3(。例6．已知椭圆12222byax)330,,(bRba过点)0,1(A，且与直线xy交于点CB,，设以A为焦点，过点CB,且开口向左的抛物线的顶点坐标为)0,(mM，求实数m的取值范围.解：由xybyax12222得CB,的坐标分别为)1,1(22bbbb，可设抛物线方程为)1,0)((22mpmxpy，12mp，))(1(42mxmy把CB,的坐标代入抛物线方程得0)1(4)1(42mmxmx21102bb，方程0)1(4)1(42mmxmx在)21,0(上有解令)1(4)1(4)(2mmxmxxf，则)(xfy在)21,0(内有零点0)1(4)1(241)21(0)1(4)0(mmmfmmf，解得4231m（四）、函数思想与根的分布在解综合题中的应用在诸多综合题中，若能恰当地抓住函数这一主线，巧用方程根的分布理论，定能化难为易，化繁为简．例7：已知}2)1(2)1({22aaxxA}0)13(2)1(3{2axaxxB若BA，求a的取值范围。解：先求得}1,2{2aaA，设)13(2)1(3)(2axaxxf，若BA，则0)(xf的两根应在}1,2{2aa之外，0)1(0)2(2afaf，解得1a或31aa的取值范围是}1{)3,1(例8：已知曲线222211213:ttyttxC（t为参数），一个半径为2的圆的圆心P在x轴上运动，问P在何位置时圆与曲线C只有一个公共点。5解：曲线C的方程可化为)30(01xyx，设圆心)0,(aP，则圆P的方程为4)(22yax，故方程组)30(014)(22xyxyax有唯一解，即方程03)1(2222axax在)3,0[上有唯一解。令3)1(22)(22axaxxf，则满足条件的有以下四种情况：（1）方程0)(xf有唯一解，即32100a，解得221a；（2）方程0)(xf有两根，且只有一根在)3,0(内，即0)3()0(ff，解得33a；（3）方程0)(xf有一根0x，另一根在)3,0(外，由0)0(f得3a，经检验3a时，方程另一根)3,0(31x，故3a；（4）方程0)(xf有一根3x，另一根在)3,0(内，由0)3(f得3a经检验符合条件；综上所述，当33a，3a或221a时，圆P与曲线C只有一个公共点。结语：一元二次方程根的分布问题是高中数学中极其重要的内容，虽然联系方程根与系数的公式——求根公式、韦达定理也能解这类问题，但化为一元二次函数的问题，数形结合的解法确有很好的通性，且更为简捷，这也充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想在解决问题中的应用。在应用一元二次方程的根的分布理论解决根的分布及参数的取值范围等一系列问题时，应将方程转化为函数，借助函数