浅谈初中数学建模教学

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浅谈初中数学建模教学20世纪下半叶以来,数学最大的变化和发展是应用,数学几乎渗透到了所有学科领域。为了适应数学发展的潮流和未来社会人才培养的需要,美国、德国、日本等发达国家都十分重视数学建模教学。增加数学和其他科学,以及日常生活的联系是世界数学教育的总趋势。我们在开展数学建模教学活动中很重视选用与物理、化学、生物、美学等知识相结合的跨学科问题以及大量与日常生活相联系(如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面)的数学问题,参加数学建模小组的学生都认为用数学知识解决实际问题比做纯数学题更有兴趣,他们认为学科之间是不分界的,数学就是生活,生活离不开数学,数学也不能和生活分离。“时时有数学,事事有数学”。一、什么是数学建模?所谓数学建模就是把所要研究的实验问题,通过数学抽象构造出相应的数学模型,再通过数学模型的研究,使原问题获得解决的过程。其基本思路是:实际问题数学模型数学问题的解新世纪数学课程改革中加强应用性、创新性,重视联系学生生活实际和社会实践的要求,我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践,目的是培养学生的创造能力和应用能力,把学生从纯理论解题的题海中解放出来,把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终,让学生学得生动活泼,使数学素质教育跃上一个新的高度。二、初中数学建模教学的基本理念和教学环节1、初中数学建模教学的基本理念○1使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系,体会数学的应用价值,培养数学的应用意识,增进对数学的理解和应用数学的信心。○2学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中的问题,进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。○3以数学建模为手段,激发学生学习数学的积极性,学会团结协作,建立良好人际关系、相互合作的工作能力。抽象(转化)求解(运用数学知识、方法)返回解释(检验)○4以数学建模方法为载体,使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实(包括数学知识、数学活动经验)以及基本的思想方法和必要的应用技能。2、贯彻应用意识的课堂数学环节数学素质教育的主战场是课堂,如何围绕课堂教学选取典型素材激发学生兴趣,以润物细无声的形式渗透数学建模思想,提高建模能力呢?根据我们的实践,采用知识的发生、形成过程与应用相渗透的教学模式可以实现这个目标,以“问题情景----建立模型----解释、应用与拓展”的基本叙述方式,使学生在朴素的问题情景中,通过观察、操作、思考、交流和运用中,掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法,逐步形成良好的数学思维习惯,强化运用意识。这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容,把基础数学知识学习与应用结合起来,使之符合“具体----抽象----具体”的认识规律。其五个基本环节是:○1创设问题情景,激发求知欲根据具体的教学内容,从学生的生活经验和已有的知识背景出发,选编合适的实际应用题,让学生带着问题在迫切要求下学习,为知识的形成做好情感上的准备,并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。○2.抽象概括,建立模型,导入学习课题通过学生的实践、交流,发表见解,搜集、整理、描述,抽象其本质,概括为我们需要学习的课题,渗透建模意识,介绍建模方法,学生应是这一过程的主体,教师适时启发,介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式,成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。○3研究模型,形成数学知识对所建立的模型,灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法,以教师为主导,学生为主体完成课题学习,形成数学知识、思想和方法,并获得新的数学活动经验。○4解决实际应用问题,享受成功喜悦用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。问题得以解决,学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值,体验到所学知识的用途和益处,成功的喜悦油然而生。○5归纳总结,深化目标根据教学目标,指导学生归纳总结,拓展知识的一般结论,指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性,使学生认识新问题,同化新知识,并构建自己的智力系统。同时体会和掌握构建数学模型的方法,深化教学目标。此外,通过解决我国当前亟待解决的紧迫问题,引导学生关心社会发展,有利于培养学生的主体意识与参与意识,发挥数学的社会化功能。、三、选择适当的数学问题,渗透数学建模思想教师要建立以人为本的学生主体观,要为学生提供一个学数学、做数学、用数学的环境和表达自己想法的机会,在教学中注意对原始问题进行数学加工。教师要为学生提供充足的自学时间,使学生在亲历的过程中展开思维,收集、处理各种信息,不断追求新知,发现、提出、分析并创造性地解决问题。数学建模学习应该成为再发现、再创造的过程,教学过程必须由以教为主转变为以学为主,要支持学生大胆提出各种打破常规的想法,充分肯定学生正确的、独特的见解,珍惜学生的创新成果和失败教训,使他们保持尝试的热情。1.从课本中的数学出发,注重对课本原题的改变对课本中出现的应用问题,可以改变设问方式、变换题设条件,互换条件结论,形成新的数学建模应用问题;对课本中的纯数学问题,可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则,编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。按照这种方式开展教学活动,可使学生接受将实际问题抽象为数学问题的训练。例1:如图,三个相同的正方形,求证:∠1+∠2+∠3=90°。此问题多次出现在课本上(初中《几何》第二册P.67的复习参考题21),其重要性可见一斑。以此问题为原型,可编拟如下一道应用问题:在距电视塔底部100米,200米,300米的三处,观察电视塔顶,测得的仰角之和为90°,那么电视塔高为多少?只要有课本题的基础,就一定得出电视塔高为100米,否则三个仰角之和要么大于90°,要么小于90°。只要教师做有心人,精心设计,课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型,选择紧贴社会实际的典型问题深入分析,逐渐渗透这方面的训练,使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。例2:几何模型:条件:如图7,A、B是直线l同旁的两个定点。问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小。方法是:作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明)。模型应用:(1)如图8,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点。连结BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称。连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值是。(2)如图9,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;(3)如图10,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值。考法评析:从知识上来看,本题是考查“利用轴对称的性质和三角形三边关系”求一定条件下的两条线段和的最小值。从过程来看,本题却是考查在掌握一种模型或模式之后能否善于在变形中应用,而这种将变式或变形划归为已有模型或模式的做法和能力,正是数学学习最为需要的能力。综合这两方面看,本题有较好的效度、可推广性和教育性。变式:某课题组在探究“泵站问题“时抽象出数学模型:直线l同旁有两个定点A、B,则在直线l上存在点P,使PA+PB的值最小。解法:作点A关于直线l的对称点A′,连续A′B,则A′B与直线l的交点即为P,且PA+PB的最小值为A′B。请利用上述模型解决下列问题:(1)几何应用:如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是边AC上的一动点,则PB+PE的最小值为;(2)几何拓展:如图2,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小,求这个最小值;(3)代数应用:求代数式4)4(122xx(0≤x≤4)的最小值。解:(1)10(2)作点B关于直线AC的对称点B′作B′N⊥AB于N,交AC于M,连结BM,则BM+MN=B′M+MN=B′N的值最小∵B、B′关于AC对称且∠CAB=30°∴△AB′B是等边三角形则BN=1,B′B=2∴B′N=31222∴BM+MN=B′M+MN=B′N=3(3)如图作AB=4,AC⊥AB,DB⊥AB且CA=1,DB=2作C关于AB的对称点C′,连结C′D交于AB于P点,设AP=x则CP=21xDP=4)4(2x作C′E⊥DB于E则C′E=AB=4,BE=AC′=AC=1∴DE=3C′D=534DEEC2222∴代数式4)4(1x22x的最小值为5数学建模中的实际问题背景更加复杂,解答具有更大的综合性和多样性,而结论还需要进行检验和优化,带有更大的挑战性和创造性。数学建模的教学使学生走出课本,走出传统的习题演练;使他们进入生活、生产的实际中,进入一个更加开放的天地;使学生体会到数学的由来、数学的应用,体验到一个充满生命活力的教学,这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径。2.从生活中的数学问题出发,强化应用意识日常生活是应用问题的源泉之一,现实生活中有许多问题可通过建立数学教学模型加以解决,如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等,都可用基础数学知识建立初等教学模型,加以解决。学生很喜欢解决这样的实际问题,只要结合数学课程内容,适时引导学生考虑生活中的数学,就会加深学生对数学知识的理解,增强应用数学的信心,获得必要的应用技能。例3:某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动车的安装,工厂决定招聘一些新工厂,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装。生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车。(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?(2)如果工厂招聘n(0n10)名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?(3)在(2)的条件下,工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资,给每名新工人每月发1200元的工资,那么工厂招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能的少?分析:本题以新式电动汽车的安装为背景,以招聘新工人为素材,以人员的搭配组合使用为条件的载体,以完成一定任务为确定招聘方案的标准,自然和谐地设计了前两问。整题的问题模型为:结果=f(招聘方案的情景,新工人,条件,决策性要求)。本题的设置意在考查学生建立方程组、一次函数模型来分析解决问题的能力,以及求解方程组等技能的掌握状况,使用解答题形式逐问呈现,较好地发掘了问题模型所蕴含的考试价值,有利于达到试卷预设的考查目标。例4、分油的问题在山西民间,有一个人们常提的问题,说的是:3斤的葫7斤的罐,10斤的油篓分一半。实际上是:有一个能装10斤油的油篓装满了油,另外只有两个容器,即:能装3斤油的葫芦和能装7斤油的罐。现在要把两个容器即能装3斤油的葫芦和能装7斤的罐.现在要把10斤油分出一半来。问:该怎么分?解:要把10斤油分出一半来,必须把7斤的罐的油倒出2斤到3斤的葫中,而3斤的葫中油的另外一斤油可由7-3×2=1得来例5、真和假很久以前,在很远的地方,住着两个种族的人:阿纳尼阿斯人——他们都是积习很深的说谎者;迪昂根尼斯人——他们无例外地都是诚实者。一次,一个外来者来访这块土地,遇见三个居民,问他们各属于什么种族。第一个人回答声音很低,外来者没听清楚他说了什么。第二个人指着第一个人说:他说他是阿纳尼阿斯人”。第三个人指着第二个人说:“你说谎”。请你想一想:他们各是什么种族的人。解:每一个居民必定说自己是迪昂根尼斯人.迪昂根尼斯人这么说,因为他们说真话,阿纳尼阿斯人这么说,因为他们说慌话.因此,第二个人说的话必定是假的,因而,第三个人说的话是真的,他是迪昂根尼斯人.于是,可以判断第二个人和第三个人属于什

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