浅谈初中数学教学中的数形结合

浅谈初中数学教学中的数形结合数学组张育丽摘要:数形结合思想方法是研究数学问题的重要方法，本文对初中数学中的部分问题，谈谈如何运用数形结合的思想解题。关键词：数形结合、解题、教学、直观化、形象化、简单化数学是揭示事物数量与形体的本质关系与联系的科学。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。这句话体现了“数”与“形”两者不可偏废的辩证唯物主义思想。“数”与“形”即是学习过程中感知的对象，又是思想的产品，它就是直观与抽象，感知与思维的结合。“数”与“形”也是一事物的两侧面，它们并不是弧立存在的，我们应从这两方面的联系中去认识事物的特征，由数思形、由形想数、相互推进，层层深入，才易于揭露事物的本质与规律。因而，我们在数学教学中，应有意识地抓住两者的结合，并使学生付诸于实践，才能使感知与思维依多角度，多层次深入展开，直觉思维与分析思维交错进行，促进代数，几何相互渗透，相互推进，提高数学质量，同时，也能有效地提高学生思维素质。初中数学有代数和几何两部分内容，它门是互相渗透与推进的，如代数列方程解应用题中的行程问题，往往借助几何图形，靠图形感知来“支持”抽象的思维过程，从而数量之间的相依关系，所以数形结合是寻找解决问题途径的—种思维方法。又如初一教材引入数轴，就为数形结合的思想奠定了基础。教材借助于数轴：(1)直观地给出了相反数的定义，在数轴上表示该两数的点分别在原点的两旁，离开原点的距离相等；零的相反数仍是零。(2)直观地给出了有理数大小的比较法则，即在数轴上表示的几个有理数，右边的数总比左边的数大，（３）直观地给出了“绝对值”的定义：一个数的绝对值是在数轴上表示—个数的点与原点的距离，因此，借助数轴使数和最简单的图形——直线上的点之间建立了对应关系，揭示了“数”与“形”之间的紧密内在联系，充分显示出数与形结合起来产生的威力，这种抽象与形象的结合，能使学生的思维得到锻炼。数形结合在各年级中都得到充分的利用。在平面几何中《圆》这一章，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，也是通过数形联系来描述的。例如：圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R、r(Rr)，圆心距为d，则当dR+r两圆外离当d=R+r两圆外切当R-rdR+r两圆相交当d=R-r两圆内切Rro1o2当dR+r两圆内切这种描述,正是通过数形结合来揭示事物本质特征,既直观又能体现了运动变化的规律.又如，代数中，二次函数图象y=ax2+bx+c（a≠0)，△=acb42.当△0y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点。△=0y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点。△0y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点。以上所提到的“数”“形”揭示了数形结合是数学中应遵循的规律，“数”与“形”的教学不能孤立进行，而应是交错进行，相辅相成。在解题中应用数形结合能使解题速度快，思维敏捷。如求二次不等式0322xx的解集，依代数方法是转化为解不等式0)1)(3(xx再转化为不等式组：0103xx或0103xx解之但若以形代数，架起直觉思维之桥，其获得结论的速度是上述推导所望尘莫及的。其方法是：先求一元二次方程0322xx的两根x1=-3，x2=1,再画略图：XY0-31不等式0322xx的解集，便一目了然。同时。又可以把三个“二次”即一元二次方程ax2+bx+c=0，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)及一元二次不等式通过图象直观地联系起来，而其系数a．b．c的几何意义，即a确定抛物开口方向，a与b确定对称轴位置(abx2),c确定图象在y轴上的截距，都可以通过图象得到直观形象的解释。一旦学生能从数形的结合上把握三个“二次”的联系，那么就能加强对重要知识的理解与掌握，从而提高分析问题，解决问题的能力.“数形”结合在解题教学中常表现为以下两个方面：(—)利用几何图形，帮助解决代数问题。例1:在一块底长为a，高为h的三角形铁板ABC上，截出一块矩形铁板EFGH，使它的—边FG在BC上；求矩形铁板EFGH的面积S与矩形的边EF(设为x)之间的函数关系。解：矩形EFGHEH‖BC△AEH∽△ABChxhaEH可得)(xhhaEH由此axxhaS2∴矩形铁板EFGH的面积S与矩形的边EF之间的函数关系为：axxhaS2例2：hCBAEFGH._____________3)2(22的最大值为，则满足、如果实数xyyxyx分析：圆，表示坐标平面上的一个有明显的几何意义，它等式3)2(22yxA下几何问题：动点来，该问题可转化为如的连线的斜率。如此一，标原点)00(在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA可见，当∠在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最AOA大值为°tg603以上例1,例2说明了有关“数”方面的问题,借用“形”的性质之后,可以使许多抽象的关系直观化,形象化和简单化,也有助于对问题的内在联系更进一步的了解,从而变难为易,化繁为简.同时，这对于帮助学生开阔思路,突破思维定势,有极好的作用。在学习过程中,有意培养学生的数形结合思维,往往更容易看清事物的本质,收到事半功倍的效果。(二)利用代数计算解决几何问题例3：已知⊙O内切于△ABC,AB=10,BC=13,AC=11.求:过△ABC的顶点A、B、C各点的切线长。解：设⊙O与△ABC各边分别相切于点D、E、F，则与坐，则表示圆上的点，而如图，，半径，圆心为)(00)(3)02(yxxyxyrAD=AF，BD=BE，CE=CF又设AD=x，BE=y，CF=z，则x+y=10，y+z=13，z+x=11解方程组：111310xzzyyx得764zyx∴过△ABC的顶点A、B、C各点的切线长分别为4，6，7。例4：已知：三角形三边长a、b、c满足0222acbcabcba，试确定三角形的形状。解：∵0222acbcabcba∴0222222222acbcabcba∴0)()()(222cacbba∴a=b，b=c，c=a即a=b=c∴此三角形是等边三角形。由例3，例4说明几何方面的问题,如果借用代数方法解决,解题方法就易于寻找，解题过程也变得比较简便，因为几何题显然由形较直观，但若遇到已知和结论之间相距较远的问题，解题途径常常不易找到，因而用代数方法解题，思维就比较明确，有规律，因此也就容易找到解题方法。总之，在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则，数形互补EFDOCBA原则。初中数学教材中，数形结合的例子很多，仅从举过的例子可以看出，代数，几何虽然各有不同特点和思考问题的方法，但是,完全有可能，有必要把它们的知识联系起来，因而我们数学教师应该在抓好代数,几何的基础知识的前提下，有意识地引导学生用数形结合的观点分析问题和解决向题，在此，应注意培养学生以下几点：（1）观察图形，挖掘图形中蕴含的数量关系。（2）正确绘制图形，反映图形中相应的数量关系。（3）切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。进而，加深对知识的理解与掌握，开拓思维。这种开拓思维对学生来讲，可称是创造，其思维的基础在于多次地完成数形沟通的训练，为创造思维积累了所需的潜在能量，在遇到新异问题时，才能闪现出创造性的火花。只要我们在教学中有意识地训练，不惜从点滴做起，坚持实践，学生思维素质便可望提高，同时，也为今后学习数学打下良好的基础.