浅谈初中生在列方程解应用题中的思维突破

1浅谈初中生在列方程解应用题中的思维突破心理学的研究指出，思维具有方向性，思维定势人人都有，学生列方程解应用题的思维是从发散性——汇聚性——递进性的一个过程。而学生思维受阻的原因正是运用小学解应用题已定势的思维来处理代数方程应用题所引起的。这样算术里解应用题的定势思维起了负迁移的作用，阻约着学生思维的发散，致使造成学生产生对解应用题的惧怕心理。列方程解应用题是初中代数教学的一个重点和难点，之所以是重点，因为通过它的教育，可以培养学生分析问题和解决问题的能力，之所以是难点，因为解决它虽有类型可分，但因题设术，变化多端。如何攻克这个难点，如何加强学生在解应用题中的思维突破，确是初中数学教学中应十分关注的一个问题。我们可以从学生列方程的有序思维过程出发，强化方程发生的过程，对“语言”、“式”、“等量”进行多层次、多角度的渗透，来加强和改进学生的入门教学，激活学生的思维活动，增强学生的思维能力，突破学生的思维定势。一、强化审题过程中的有序性，牢牢把握每道例题、习题按审题的有序性要求进行分析思考。现在许多学生初解应用题时未能从题目的语言所提供的信息中科学地进行思考，不重视“审题”这一重要环节，甚至不审题，粗审题，无意识审题，未能形成“遇题必审”的好习惯，不清楚审好题的基本要求是什么，这样正确的思维无从展开突破，结果因是审题不全面、不透彻，未能为解应用题列方程起到“铺垫”的作用。因此，加强审题的有序性训练非常重要。1、把“题”叙“事”。学生在解答应用题时，若不能用语言来表达自己的推断，思维往往会陷于困境；而当能够用自己语言来表达思想时，问题的解决往往能比较顺利地进行。因此，要求学生从读题入手，能用自己语言把题目的内容口叙成一事，是很重要的一关。2、数量归类。要把题目已知的、未知的数量，同类的、不同类的数量，化的、不变的数量等——归类、汇集，注意到许多量之间的关系，可用列表法加以归类，这样比较容易发现同类量之间的联系，不同对象之间相关量的联系。3、寻找要“语”即是要求找出题中的关键语言（与有列方程有关的语言）以及它所赋予的数量关系，弄清每词语的真实含义，是正确进行思维的必要条件。应用题有各种类型，在初中主要可以分为：①和、差、倍、分问题；②等积变形问题；③工程问题；④劳动调配问题；⑤按比例分配问题；⑥行程问题；⑦浓度问题；⑧其它杂题；而关键词语多数又集中在“和、差、倍、分”上，例如“多”、“少”、“快”、“慢”、“提前”、“超过”、“一共”以及“剩余”、“和”、“差”、“增长率”、“增产”、“节约”、“降低”、“上升”等等。要注意的是，这些关键词落实在数学运算上还就具有相对性，例如a比b大多少？以a为标准数则a=b+？；以b为标准数b=a-？，前者是“和”的关系，后者是“差”的关系，学生易于忽视。另外需要搞清楚的一些表面相似而实际含义不同的关键词。例如“数”与“数字”，“几年后”与“第几年”、“是几倍”、“为几倍”、“增加几倍”与“增加到几倍”、“增加百分之几”、“增加几成”、“翻一番”与“翻两番”等，它们与列方程有直接关系。因此审题时必须弄清它们有确切意义着重找出关键词语。4、联想“关系”：根据对关键语言的确切理解直接反映到数量上，把基本类型的数量关系进行联想，从而沟通量与量之间的联系，这个联系是列方程的“铺垫”工作的核心。在初中阶段要求学生必须熟练地掌握一些隐晦的等量关系。例如“速2度×时间=距离，比重×体积=重量，溶质÷溶液=浓度，工作量÷工作效率=工作时间；以及周长、面积、体积（或容积）公式，几何中的有关定理、三角、物理、化学中的有关公式。还有特殊的等量关系如追及运动中，两速度的差×时间=原来的距离，在相向匀速运动中，两速度的和×时间=距离，顺水航行中，顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速-水速，以及涉及到当前经济社会中的实际问题如销售总额、单价、利率、成本、利润、产量等，如几年后产量=原产量×（1+年均增长率）。增长率=增量÷基量；含有率=含量÷全量。这些隐晦的等量关系在问题中都往往不明显地指出，必须在审题分析题意时方能得到。二、强化语言数学化的训练，使学生正确把握“关键词”、“不变量”、“等值量”为建立等量关系铺好垫。我们知道，审好题、铺成垫需要的是发散性的思维，审题后需要的是从发散的数量关系中进行汇聚成等量关系。而相当部分学生却往往不能捕捉题目中的一切可组成等量关系的因素，不能挖掘出题目中的“不变量”作为列代数式、方程的原始材料汇聚成要“语”等式。因此，必须要加强对学生在解应用题中汇聚能力的训练，以养成正确敏锐的思维技能。1、正确捕捉“关键词”、“不变量”、“变量值”这上作为汇成等量关系的桥梁。例如像相遇问题中有距离和是“不变量”，锻压冷热前后体积是“不变量”；正比例函数关系的比值是“不变量；反比例函数关系的积是”不变量“等等。2、要强化学生语言数学化训练，这一点在新课开始时均可安排实际问题的语言和数学语言之间互译的训练，例如：4x-5=2.5x可译为“2.5x比4x少5”，“4x比2.5x多5”，“4x减去5的差是2.5x，“4x减去2.5x的差是5”，“比4x少5的数是2.5x”，“4x减去5剩下是2.5x”，“2.5x增加5就是4x”等。3、强化“数、式互表”训练，新课开始时，可安排由例题、习题有关的列代数式的练习；反过来，要让学生说出已列出的代数式的值所表示的具体意义是什么。抽象思维、逆向思维也渗透在其中，以致学生不但能习惯“以字母表示数”，而且也逐步具有以“代数式表示数”的抽象能力。初中学生在初始阶段，通过上述两个训练，应该可把有关词、词的词义，相应的符号汇聚成一体，使之成为激发学生列出方程的“触媒”。三、通过多种方法，强化学生的列式训练，突破单一思维定势。在具体应用题解答过程中，即使学生已能把各类相关量汇聚成相等的关系，学生还不一定能正确地列出方程来。为了减少学生领会题意列出方程的困难，突破思维的定势，在日常教学中可以采用译式法、列表法、线性方法、图解法等多种分析方法，来强化学生由“等量”递进为“方程”的有序思维训练以及多角度、多类型特征的列式技能训练。当然从审题到列出方程，对于理解力较弱或基础较差的同学来说，这一步的距离还是比较长的。但可以说找出等量关系是从应用题审题到表列出方程起到了一个桥梁作用。用这样一个桥梁来过渡，把等量关系“翻译”成方程，学生就会感到省力。现不妨以“译式法“为例进行说明。译式法：就是将题中关键性的语言译成代数式。但其译式的“语言”对象可随假设的不同而变化，列式过程中的思维角度也随之转化。例：从少先队夏令营到城市，先下山然后走平路，某队员先骑自行车以每小时12公里的速度下山而以每小时8公里的速度通过平路而以每小时4公里的速度上山回到夏令营就用了1.5小时。从夏令营到城市有多少公里？“度量”公式为：路程=速度×时间3译式过程：设山路之长为x公里，则下山需12x小时，上山需4x小时，下山通过平路需（121211x）公里，平路之长或是8（4211x）公里。等量关系：某队员下山通过平路的路程=该队员上山通过的路程。列式：9（81211x）=8（4211x）求得x后即可求出从夏令营到城市的距离。当然，此题还可从多角度对学生进行列技能训练，开发学生智力，开拓学生思维。１、设山路之长为x公里，平路之长为4公里，可列式912yx=121184yx=121２、设山路之长为x公里，夏令营到城市距离为y公里，可列式12x+9xy=12114x+8xy=121３、设平路之长为x公里，夏令营到城市距离为y公里，可列式9x+12xy=12118x+4xy=121４、设下山为x小时，上山为y小时，可列式12x=4y9(x1211)=8（121-y）５、设去时平路为x小时，回时平路为y小时，可列式9x=8y12（x1211）=4（121-y）６、设下山为x小时，回时走平路为y小时，可列式12x=4(121-y)8y=9(x1211)７、设去时走平路为x小时，上山为y小时，可列式9x=8(121-y)44y=12(x1211)事实上，此应用题明显的未知数只有一个，即夏令营到城市之间的距离，而且这个未知数与本题的已知条件无直接的等量关系，所以如单纯的用明显的未知数列出方程就比较繁。另外此题的未知数较多，故还能列出三元一次方程组，四元一次方程组等解法，只不过列法较繁，未必采用；此列中各种不同的解法，是出于各种不同的思路，因之布列方程解应用总理问题，应利用一题多解的分析法，来丰富学生的思路，提高解决应用问题的能力。总之，列方程解应用题实质上是在初中课程中把实验问题转化为数学问题的一个最简单模型，但它最需要的分析思维，这种分析思维能力也是解决一般数学问题所需要的，它对学生来说需要有一个培养及训练的过程。因此，为了更好使初中学生在列方程解应用题中进行有效的思维突破，我们一定要从训练学生会用“分析法”来布列方程，并多角度地去强化方程所发生的过程，克服和突破小学算术解法中这一单一思维定势所造成的负迁移，真正引导学生步入用代数方程解决各类应用题之门。