浅谈发生共振的条件

浅谈发生共振的条件重庆市第七中学校（400030）田雨禾高中物理教材“机械振动”一章中，都有“受迫振动共振”一节，但是关于发生共振的条件的论述，现行教材和以前的教材相比说法有所变化。以前的教材讲：“当策动力（现行教材改为驱动力）的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。”，意思是说驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件。现行教材改为“当驱动力的频率接近物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅增大，这种现象称为共振。”这种说法可以理解为：驱动力的频率接近物体的固有频率是发生共振的条件。比较以上两种说法，似乎存在矛盾。究竟是驱动力的频率等于物体的固有频率时发生共振还是驱动力的频率接近物体的固有频率时发生共振呢？与此同时，相关的习题都沿用“驱动力的频率等于固有频率时发生共振”的说法，似乎“驱动力的频率等于物体的固有频率是发生共振的条件”更为可信。然而，根据又是什么呢？笔者认为，要弄清这个问题，还要从受迫振动说起。为了与高中物理教材吻合，我们只讨论在欠阻尼振动系统上加周期性外力发生的受迫振动。以弹簧振子为例，质点受三种力：弹性力-kx，阻尼力dxdt，驱动力F，设其按余弦（或正弦）规律变化且初相为零，则有0cosFFt由牛顿第二定律，有202cosdxdxmkxFtdtdt令2000,2,Fkfmmm得20022cosdxdxxftdtdt(1.1)这就是受迫振动的方程，为二阶常系数非齐次微分方程。根据微分方程理论，上式的解为0cos(')cos()txAetAt(1.2)A和是由初始条件决定的积分常数。（1.2）式为两项之和，表明质点运动包含两个分运动，第一项为阻尼振动，随时间的推移而趋于消失，它反映受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力频率相同且振幅为A0的周期性振动。开始时，受迫振动的振幅较小，经过一定时间后，阻尼振动消失。质点进行由（1.2）式第二项决定的与驱动力同频率的振动，称为受迫振动的稳定振动状态，可表示如下：0cos()xAt（1.3）稳定振动状态表面上像简谐运动，其实不然。并非固有频率，而是驱动力的频率；振幅A0和初相也并非决定于初始条件，而是依赖于振动系统本身的性质，阻尼的大小和驱动力的特征，将（1.3）式代入（1.1）式，得2002000(coscossinsin)2(sincoscossin)(coscossinsin)cosAttAttAttft由等式性质，有22000022000()cos2sin()sin2cos0AAfAA可解出0022220()4fA（1.4）当驱动力频率取某值时，振幅获得最大值（振动系统做受迫振动时，其振幅大最大值的现象叫做位移共振——即高中物理教材中所说的共振）。由上式，并用微分法关于极大值的判据，可求出共振时驱动力的圆频率为2202r这一频率称为位移共振频率。显然，位移共振频率一般不等于振动系统的固有频率。物体做受迫振动达到稳定状态时，其速度做周期性变化，由（1.3）式可得0sin()2xdxvAtdt由此可知速度幅（即速度的最大值）00vA由（1.4）式可知，由于A0随驱动力的频率变化而变化，驱动力频率达到某一数值时可使振动的速度幅取最大值，这种现象称为速度共振。将（1.4）式代入00vA，并应用极值的微分判据可得速度共振的条件为0即驱动力的圆频率等于振动系统的固有圆频率。综上所述，速度共振和位移共振的条件是不同的，当阻尼无限小时，位移共振的圆频率2202r，无限接近于固有圆频率（此时振幅将趋于无穷大，产生极激烈的位移共振），与速度共振的条件相同，我们不必再区分两种共振。鉴于高中阶段所讲的共振是弱阻尼情况下发生的共振，为便于教学，亦便于学生理解和识记，笔者建议还是把共振条件表述为“驱动力的频率等于振动系统的固有频率”更为合适。以上是笔者的一孔之见，不妥之处恳请物理教育界的前辈和同仁不吝赐教。