基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计要点

基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计I基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计摘要随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器（DF，DigitalFilter）。数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。实现IIR滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，精度高，而且能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此应用很广。Matlab软件以矩阵运算为基础，把计算、可视化及程序设计有机融合到交互式工作环境中，并且为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信号处理工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。本次主要利用matlab的信号处理工具箱设计一个数字高通IIR滤波器，并用此滤波器处理一段音频信号。此报告重点介绍了用双线性不变法设计IIR数字滤波器的基本流程，比较了各种设计方法的优缺点，总结了模拟滤波器的性能特征。最后以双线性不变法设计了一个高通巴特沃斯IIR数字滤波器，介绍了设计步骤，然后在Matlab环境下进行了仿真与调试，实现了设计目标。关键字IIR数字滤波器巴特沃斯高通双线性变换MATLAB基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计IIAbstractWiththeinformationeraandtheadventofthedigitalworld,digitalsignalprocessinghasbecomeoneoftheimportantfieldsofscienceandtechnology.Inthedigitalsignalprocessingplaysanimportantroleandhasbeenwidelyappliedinthedigitalfilter.Digitalfilterisadiscretetimesignalisusedtofilterthedigitalsystem,throughthemathematicalprocessingofsamplingdatatoreachthegoaloffrequencydomainfilterin.ImplementationofIIRfilterorderislow,lessstorageunit,withhighefficiency,highprecision,andcankeepsomesimulationcharacteristicsoffilter,soaverywideapplication.Matlabsoftwarebasedonmatrixcomputation,thecalculation,visualizationandprogramdesignoforganicintegrationtointeractiveenvironment,andprovidesanintuitive,efficient,convenienttoolfortheresearchandapplicationofdigitalfilter..ThemainuseofsignalprocessingtoolboxofMATLABtodesignadigitalhigh-passIIRfilter,andanaudiosignalwiththefilter.ThisreportfocusesonthebasicprocessofusingthebilinearinvariantIIRdigitalfilterdesign,comparestheadvantagesanddisadvantagesofvariousdesignmethods,summarizesthecharacteristicsoftheanalogfilter.Finally,bybilinearinvarianttodesignahighButterworthIIRdigitalfilter,introducesthedesignsteps,andthenintheMatlabenvironmentforthesimulationanddebugging,achievesthedesigngoal.KeywordsIIRButterworthhigh-passbilineartransformMATLABdigitalfilter基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计目录摘要...................................................IAbstract................................................II1．数字滤波器...........................................11.1数字滤波器介绍....................................11.2IIR数字滤波器设计原理.............................21.2.2双线性变换法..........................................32．数字滤波器设计实现....................................62.1典型模拟滤波器比较................................62.2设计步骤..........................................62.3程序流程图........................................72.4音频信号部分程序...................................82.5仿真结果..........................................82.5.1滤波器性能仿真........................................92.5.2滤波器除噪性能.......................................103．总结.................................................10致谢....................................................11参考文献................................................12附录.................................................13基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计11．数字滤波器1.1数字滤波器介绍数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。时域离散系统的频域特性:jwjwjweHeXeY，其中jweY，jweX分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性），jweH是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱jweX经过滤波后jwjweHeX。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择jweH，使得滤波后的jwjweHeX满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：NiiNiiinyinxany10b系统函数为：NkkkMrrrzazbzH101设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计2双线性变换交换频率双线性变换1.2IIR数字滤波器设计原理IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为zXzYzazNkkkkk1M0k1bzH假设M≤N，当M＞N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ka和kb，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。设计通数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。方法1方法2图1-1数字带通滤波器设计的两种方法方法1:首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的模拟高通滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字高通滤波器。方法2:先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通滤波器。本课程设计采用第一种设计方法，先构造一个巴特沃斯模拟低通滤波器，然后将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器，最后利用双线性变换将模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器。数字高通模拟高通模拟低通数字低通数字高通频率交换模拟低通基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计31.2.2双线性变换法为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3图1-3双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现式中,T仍是采样间隔。当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（1-9）写成将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：2tan21TT2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTjTsTsTsTsTsTseeTTsTeeeeTs1111111122tanh2212/2/2/2/o－11Z平面jIm[z]Re[z]/Tj11－/TS1平面S平面joo基于双线性变换法的IIR数字高通滤波器设计4这两个关系式是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换首先,把jwez可得即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将jws代入，得因此由此看出，当0时，|z|1；当0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面