浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法

浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法摘要：本文是介绍数列通项公式的求法，数列的通项公式是研究数列性质的关键，对数列的单调性，数列的最大项，最小项，数列的求和等都有重大作用，通过构造等比数列将四种数列的递推公式转化为等比数列，先有等比数列的通项公式再求所求数列的通项公式。关键词：等比数列递推公式通项公式数列的递推公式是数列的一种表示方法，它反映的是数列相邻项之间的关系式，如果要研究某个数列的性质，我们就要确定其通项公式。本文就介绍了四种根据数列的递推公式求通项公式的方法。一、数列}{na中，已知qpaaaann11,，Nnn,1，0,1qp，求数列}{na的通项公式。解析：可以设xapxann1，化简得xppaann11比较系数得到,1qxp即1pqx，所以数列}{na满足：111pqappqann即数列}1{pqan是以首项为1pqa，公比为p的等比数列。即111nnppqapqa所以111pqppqaann，（0,1,qpNn）【例1】设数列}{na满足,23,111nnaaaNnn,1，求数列}{na的通项公式。解：根据231nnaa可以得到1311nnaa即数列}1{na是以211a为首项，公比为3的等比数列。所以1321nna即1321nna二、数列}{na中，已知aa1，rqnpaann1，Nnn,1，Rrqap,0,0,1,求数列}{na的通项公式。解析：可以设]1[1ynxapyxnann，可以得到ypypxnxpxpaann1，比较系数可得,,rpxypyqxpx解得11,12prppqypqx即数列}{yxnan是以yxa为首项，公比为p的等比数列。所以1nnpyxayxna，把上述解得的yx,带入下面1式可得数列}{na的通项公式为：yxnpyxaann1，Nnn,11【例2】数列}{na满足11a，2231naann，Nnn,1，求数列}{na的通项公式。解：根据2231naann，可得]251[3251nanann即数列}25{nan是以首项为292511，公比为3的等比数列。所以132925nnna，即253211nann三、数列}{na中，aa1，rqpaannn1，Nnn,1，qpqap,0,0,1，求数列}{na的通项公式。解析：可以设yxqapyxqannnn11，化简得ypqxxqppaannn11比较系数可以得到，rypxxqp1,1，解出1,pryqpqx即数列}{yxqann是以yxqa为首项，公比为p等比数列。所以1nnnpyxqayxqa，把上述解得的yx,带入下面2式可得数列}{na的通项公式为yxqpyxqaannn1，Nnn,12【例3】数列}{na满足11a，2231nnnaa，Nnn,1，求数列}{na的通项公式。解：根据2231nnnaa可以得到122312211nnnnaa即数列}122{nna是以1+4+1=6为首项，公比为3的等比数列，所以136122nnna即12321nnna四、数列}{na中，aa1，ba2，21nnnqapaa,Nnn,2其中04,0,02qpqp，求数列}{na的通项公式。解析：可以设211nnnnxaayxaa，3即21nnnxyaaxya比较系数可以得到，qxypxy,解出，242qppx，242qppy，或242qppx，242qppy，所以数列}{1nnxaa是以xab为首项，公比为y的等比数列。即21nnnyxabxaa①同样我们将3式写成211nnnnyaaxyaa形式所以数列}{1nnyaa是以yab为首项，公比为x的等比数列。即21nnnxyabyaa②根据①②式可得数列}{na的通项公式为yxxyabyxabannn114把上述解得的yx,的一组值带入4式就可以，因为另一组值带入的结果是一样的。【例4】数列}{na满足4,321aa，2123nnnaaa，Nnn,2，求数列}{na的通项公式。解：根据2123nnnaaa可得，2112nnnnaaaa所以数列}{1nnaa是以134为首项，公比为2的等比数列。即2121nnnaa③同样根据2123nnnaaa可得，21122nnnnaaaa所以数列}2{1nnaa是以264为首项，以1为公比的等比数列。即212221nnnaa④根据③④可以解出数列}{na的通项公式为221nna