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浅谈“图表型应用问题”解析江苏袁军在信息化社会中，人们将面对很多以不同方式呈现出来的信息，如函数的图像、各种表格、统计图表等.人们必须学会通过图表找出相关信息，学会分析、处理、使用信息，这是现代人综合素质的一个重要体现，也是迎接新世纪激烈竞争的一种重要技能.这几年高考数学中图表类型的应用层出不穷，这说明这类问题已成为高考中的热点问题，应引起我们足够的重视.下面就这类问题进行例解，归纳这类问题的具体解法，希望对同学们的学习有所帮助.类型一.函数图像的应用例1.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图1所示）．那么对于图中给定的0t和1t，下列判断中一定正确的是（）A.在1t时刻，甲车在乙车前面B.0t时刻后，甲车在乙车后面C.在0t时刻，两车的位置相同D.1t时刻后，乙车在甲车前面（图1）解析:由图像可知，曲线v甲比v乙在0～0t、0～1t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选A.方法点评：对函数图像的考查一般从“识图”、“作图”、“用图”三个方面命题，本题主要考察了识图和用图两个方面，对于识图首先要弄清两个变量（即横轴、纵轴所表示的变量）的实际意义.用图主要是指利用函数的图像解决问题，像本题比较甲跟乙谁前谁后其实是比较谁在同样的时间内行驶的路程的大小，比较路程的大小其实就是比较曲线与x轴所围成面积的大小.随堂训练1.如图所示，一质点(,)Pxy在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点(,0)Qx的运动速度()VVt=的图像大致为（）ABCD答案：B提示:由图可知，当质点(,)Pxy在两个封闭曲线上运动时，投影点(,0)Qx的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点(,)Pxy在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点(,)Pxy在开始时沿直线运动，故投影点(,0)Qx的速度为常数，因此C是错误的，故选B.类型二.表格型问题的应用例2.某工厂统计资料显示，产品的次品率p与日产量n（件）(,198)nNn*危?且的关系表如下：n1234…98p299149297148…1又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失2a元（0a）.⑴将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的函数关系式；⑵为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（31.73»）解析：⑴有所提供的表格可知次品率p与日产量n（件）之间的关系，2(198,)100pnnNn*=＃?-.日产量中正品有()npn-件，日盈利额()()()(198,)2100anTnanpnpnannnNn*=--=-＃?-.⑵∵0a，则3003003103[(100)]103230068.4100100Tnnann=+-=--+??--，当且仅当300100100nn-=-，10010382.7n=-?，而nN*Î，且(82)(83)TTaa，故83n=时Ta取最大值，即T去最大值.方法点评：本题关键的问题是由所提供表格得出次品率与日产量n（件）之间的关系.这类问题解决时，我们要密切关注表格中所涉及的量，搞清量之间的关系.在分析量之间的关系时，我们通常使用归纳推理的方法.yxO(,)Pxy(,0)QxO()VttO()VttO()VttO()Vtt随堂训练2.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量3am，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元；若用水量超过3am，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份用水量（3m）水费（元）1992151932233根据上表中的数据，求a，b，c.提示：设每月用水量为3xm，支付费用为y元，则有8,0,8(),.cxaybxacxaì+＃ïïï=íï+-+ïïî由表知第二、三月份的用水量均大于13元，故用水量153m，223m均大于最低限量3am，于是就有198(15),338(22).bacbacì=+-+ïïïíï=+-+ïïî解之得2b=，从而219ac=+.由第一月份的情况可得89c+=，可得1c=.故10a=，2b=，1c=.类型三.频率分布直方图的应用例3.为了研究某高校大学新生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{}na的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{}nb的前六项.⑴求等比数列{}na的通项公式；⑵求等差数列{}nb的通项公式；⑶若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的近视率m的大小.解析：⑴由题意，知10.10.11001a=创=，20.30.11003a=创=.∵数列{}na是等比数列，∴公比213aqa==，1113nnnaaq--==.⑵∵12313aaa++=，∴126123100()87bbbaaa+++=-++=L.0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距∵数列{}nb是等差数列，∴设数列{}nb公差为d，则得1261615bbbbd+++=+L.∴161587bd+=.∵1427ba==，∴5d=-.∴325nbn=-.⑶1234560.91100aaaaaam+++++==.故估计该校新生近视率为91%.方法点评：本题属于频率分布直方图的应用，关于频率分布直方图，要认清频率分布直方图其实是由一系列的小矩形构成的，小矩形的高表示频率组距，底为组距，小矩形的面积表示对应的频率，所有矩形的面积和为1.随堂训练3一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．答案：25人.