浅谈在几何教学中“基本图形”的作用

1浅谈在几何教学中“基本图形”的作用学生在做几何题时，看到题目首先想到的是这个题目有没有做过，而不是想如何根据已有的知识方法去分析它。做几何题最关键的是根据已知条件，联系到所学过的知识定理，经过推理论证，最后解决问题。但有些知识定理学生不一定就能很好的理解，这时就可引导学生看到题目中的条件就想到相应的基本图形。利用这种方法分析问题时，学生可以把抽象的问题形象化，在解决问题时可以起到事半功倍的效果。下面就谈谈在几何教学中如何发挥“基本图形”的作用。1．建立基本图形与几何知识的双向联系在教学过程中把基本的定义定理以基本图形的形式反映出来，建立最基本的基本图形库，引导学生用几何语言表述相关的定义定理。想到几何知识就联想到与之相关的几何图形，看到几何图形就想到相应的几何知识。改变那种把性质定理的文字表述与图形割裂开的学习方法。建立基本图形与几何知识的双向联系，是分析解决问题的先决条件，没有这种基本的关联，训练思维能力就缺少了必要的载体。教师在平时的课堂教学中，就渗透这种理解、记忆几何知识的方法。如三角形外角基本图（图1），学习三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和的时候，想到三角形的外交相关的性质，就想到图1，看到图1的形状就想到∠1=∠A+∠B，再如三线八角基本图（图2），同位角基本图（图3），内错角基本图（图4）等，看到这种图形就能以这些图形为索引，联想到相关联的知识。2．把经常在习题中出现的基本形态作为基本图形。尽管数学练习千变万化，但是绝大多数题目都能从中提炼出一些基本元素，在教学中帮助学生梳理、提炼这些基本图形，遇到问题时分离这些基本图形，基本图形残缺时，构造基本图形，这样可以以这些基本图形为载体，培养学生的空间想象能力，分析推理能力。_图1_1图2_2_1图3_2_1图4AB2一种是简单的基本图形。例如，三角形全等的基本图形（如图5）；直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的基本图形；三角形相似的基本图形，（如图5、6、7），还有弦切角定理、切线长定理基本图形等，这些都是比较简单的常见的全等、相似的基本形状，易于掌握和应用。另一种是比较复杂，经常在习题中考题中出现，也可以提炼为基本图形。例如：河边取水基本图（如图8），问题是：从A处到小河m取水拿到B处，怎么选取水点才能使所走的总路程最近？这个利用轴对称的知识把问题转化为两点之间线段最短的问题，提炼出一个基本图形，在四边形中，圆的有关问题中，平面直角坐标系中都有很多的的应用。再如梯形ABCD中（如图9），有三对面积相等的三角形，S2=S4，S1+S2=S4+S1S2+S3+S4+S3，还有同底的三角形的面积比等于底边之比S1：S3=DO:BO；还有相似三角形的面积比与线段比的关系S1:S3=AO2：CO2等，把此图作为基本图形，可以很容易的解决一大类相关问题。3．把反映重要数学规律的图形作为基本图形。尽管几何部分有很多知识点，但是某块内容的有关练习都有很多共性之处，可以把其中最有共性、最本质的基本元素提炼出来作为基本图形，给解决问题带来便捷。例如，圆中有关的线段计算问题，如图10，由半径、弦的一半、弦心距组成的“垂径三角形”是一个很重要的基本图形，很多圆的计算问题都可以转化为这个基本图形，在直角三角形中OAP中求解。在半径、弦、弦心距（还有拱高）这4个量中只要知道2个量就可以求其余2个量。图5DCOBAFECBA图6图7ABCDES2·A·P·B·A′图8mODCBA图9S1S3S4ABP·OA3再如：在锐角三角函数应用的有关计算中，很多问题都可以归结为图11的模型，图中在已知两个特殊角的前提下，再已知AD、CD、AC、BC、AB、BD六条边中1条可求其余5条边，或者已知边角的三个特殊条件(必须有一边），即可求出其余未知量，把问题转化为或构造出这个基本图，使问题迎刃而解。如图12中的问题就可以归结为这个基本图形解决。4．利用基本图形分析法分析几何问题的基本教学模式。看到一个几何问题，采用分析法和综合法相结合的分析模式，在平时的教学中渗透、培养学生采用基本图形分析法分析问题的能力。在分析问题时首先根据单个的条件和结论联想基本知识和基本图形，若解决问题有困难，再综合两个或多个条件，必要时需把结论进行转化，从图形中寻找基本图形。若不能找到，则看有没有某个基本图形的一部分，然后根据条件或者结论思考怎样添加辅助线能构造出基本图形。当图形比较复杂、不能把注意力集中在图形的某个部分进行思考的时候，可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，在图形的旁边重新画出，以便更方便地进行思考分析。例如：如图13（1）：DE是三角形ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，求三角形DMN和四边形ANME的面积之比。水平地面CABO山坡60°45°PE图12MEFC(3)NAEFC(2)NDEFM(4)(1)DABNECM4分析：看到中位线联想到：中点、平行线、1：2、A字相似图；由M为中点想到：与三角形DMN有关的“8”字全等基本图形。但是图中没有这样的基本图形，由此想到添加辅助线构造基本图形，过E作EF平行于AB交CN于F，就会分离出图（2），图中的面积比等于相似比的平方；图（3）中的同高的三角形的面积比等于底边的比；图（4）中的“8”字全等基本图形；由于图形比较复杂，所以从中把需要关注的基本图形从中分离出来，这样，设三角形DNM的面积为单位1，就可以求出四边形ANME的面积为5.5．分析基本图形与数学思想方法相融合分析问题应在基本的数学思想方法指导下进行。如无处不在的转化思想，数学建模思想，数形结合思想，分类讨论思想等。重要的是借助于基本图形，使解题思路产生在学生的最近发展区。解决一个问题有困难时可考虑把它转化为其它问题考虑，转化前、后都应考虑基本图形。例如：八年级上册的一道课后作业：如图14，找出图中的同位角、内错角、同旁内角。可以根据分类讨论的思想，把图中的三线八角基本图形分离出来，分类时可以按照谁做第三条直线的线索进行。然后在每个基本图形中找同位角、内错角、同旁内角就容易得多，而且能做到不重不漏。如下图，学生能很很容易的从每个图中找出同位角、内错角、同旁内角。图14