浅谈在小学数学中运用“等价转化”思想解决数学问题

[小学数学]浅谈在小学数学中运用“等价转化”思想解决数学问题作者姓名：许建军作者单位：香洲区第十小学联系电话：[phone]浅谈在小学数学中运用“等价转化”思想解决数学问题内容摘要：等价转化的思想，它对数学的发展在一定程度上起到推动的作用，因为它直接支配着数学的实践活动，是数学的精髓和灵魂中的一种很好的表现。在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透这种数学思想方法是提高学生思维素质，培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的一个突破口。关键词：等价转化等积变形图形割补数形结合数学问题中，已知条件是结论成立的保证。但有的问题已知条件和结论之间，距离比较大，难于解出。因此，如何将已知条件经过转化，逐步向需求结论靠拢，这就是解题过程中经常要做的工作，变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件的隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在联系，以便应用数学规律、方法将问题予以解决。因此，作为一位教育工作者如何培养学生等价转化的思想，对学生思维能力的提高具有非常重要的意义。一、充分理解加、减、乘、除法各部分的关系，再加巧妙运用等价转化的思想，在解决问题中就会如虎添翼。例如：两数的和是432，商是7，这两数各是多少？在解答此题时，因为问题与条件之间的距离相差很大，所以学生解答此题时就只有身在此山中，云深不知处的感觉。如果我们把此题等价转化成这样的题：被除数和除数的和是432，被除数是除数的7倍，求被除数、除数各是多少？我想此时，同学们就会把此题变成一道“和倍问题”的应用题了，那么，同学们就会有拨开乌云见红日之感。又如，把一个减法算式里的被减数、减数与差相加，得数是990，已知减数是差的2倍，减数是多少？在解答此题时，同学们知道被减数=减数+差，但同学们觉得此题中被减数跟减数、差的关系不明确，因此，不知道从何入手。如果我们能够充分利用减法中各部分的关系，因为条件中告诉我们被减数+减数+差=99，把“减数+差”的和等价转化为被减数就会得到：被减数+被减数=990，这样我们就轻而易举的求出被减数=990÷2=330，如此一来，此题就可以等价转化为一道“和倍问题”：减数与差的和是330，减数是差的2倍，减数是多少？由上面两个例子可以清楚看出，巧妙运用等价转化的思想，可以缩短已知条件与结论之间的距离，从而达到解题的目的。二、等积变形是等价转化思想的重要体现“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等。这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”。如果把这个问题具体化一些，常常可以看到这样两类情况：一类是两个三角形有一个公共顶点，而这个公共顶点所对的边在一条直线上且相等。如图中的三角形ABC与ACD，它们的公共顶点为A，边1A2A3ABCBC、CD在同一直线上且BC=CD，那么就有三角形ABC与三角形ACD的面积相等。另一类是两个三角形有一条公共的底边，且A1A2＝A2A3＝BC，而这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上（即BC∥A1A3），如图中的三角形A1BA2、A2BC与A3CA2的面积都相等。当然这个问题还可以再深入一步，两个三角形如果有相等的底（或高），但一个三角形的高是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。例如，如图，平行四边形ABCD的周长为75厘米，BC上的高为14厘米，CD边上的高为16厘米，求平行四边形ABCD的面积。我们知道平行四边形面积=底×高。于是得到BC×AE=CD×AF，利用这个关系及2（BC+CD）=75，就可以求出BC与CD来。这种方法就是利用面积相等这一条件，得出平行四边形相邻两条边的关系，从而使结论与条件的距离拉近，达到解题的目的。三、图形割补是等价转化的思想的巧妙运用“平行四边形的面积等于底与高的乘积”，这是大家熟知的，我们如何说明这个公式是正确的呢？如图，平行四边形ABCD中，作DE与AB垂直，这时把三角形ADE割下来补到三角形BCF的位置，这样平行四边形ABCD就与长方形EFCD的面积相等，而长方形EFCD的面积=CD×DE。这就是说平行四边形ABCD的面积=CD×DE，即说明了平行四边形的面积等于底与高的乘积。这种方法就是割补法，其实割补法正是等价转化的思想的一种巧妙运用。这种方法在求面积时有很广泛的应用，我们在推导三角形、梯形、圆等图形面积的公式时都是用割补法的。例如，如图，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求a。由于甲、乙三角形的面积都不知道，也没有足够的数据直接给出来（它们的底与高都不知道），但如果甲、乙三角形都补上一个四边形ABCF后，条件就变成了正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。而正方形ABCD面积好求，三角形ABE的底为4+a，高为4，于是就好求了。由此可见，等价转化的思想有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的功效。四、数形结合是等价转化的思想在小学数学教学中另一体现数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中注意把握运用这种数学思想。其实，数形结合也是一种等价转化的思想，它是把一个数学问题转化成图形的形式，使得问题变得直观、形象，从而达到解题的目的。这种思想在小学数学a甲乙解题中有重要体现。例如，王刚家里养了公鸡和母鸡，一共35只，公鸡的只数是母鸡的4倍，王刚家养的公鸡和母鸡各有多少只？在解此题时，对于三年级的学生来说，是一道比较难的题。如果教师在讲解时，画出如下线段图：由上图可以看出，如果把母鸡的只数看作“一份”，那么，公鸡的只数为“四份”，公鸡与母鸡的只数和就是（4+1）=5份。利用除法求出1份（即此题被等价转化为求1倍的数量），接着再求4份（即4倍数）是多少。通过数形结合，使本来很难理解的一道题也感觉到也不过如此而已。总之，等价转化的思想，它对数学的发展在一定程度上起到推动的作用，因为它直接支配着数学的实践活动，是数学的精髓和灵魂中的一种很好的表现。在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透这种数学思想方法是提高学生思维素质，培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的一个突破口。参考文献：1.《小学华罗庚奥数教材》（六年级）2.《小学数学教师》:公鸡:母鸡只公鸡和母鸡一共35