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学年论文题目：晶体的对称性学院：物理与电子工程学院专业：材料物理学生姓名：..............学号：.............指导教师：..............简短评语评定成绩：＿＿＿＿指导教师：＿＿＿＿＿1晶体的对称性姓名：杨亚东指导老师：李金赟届别：2016专业：材料物理班级：材料物理1班学号：201272040125摘要：对称性在物理研究的应用中非常广泛，从对称性的角度出发，可以研究许多物理问题。本文则主要是从几个不同的方面对晶体的对称性进行论述。首先，介绍国内外有关晶体对称性的历史发展过程；其次，从宏观对称性和微观对称性对晶体的对称性做进一步的阐述和说明。简述对称元素和点对称操作、对称性的基本原理、32种空间点群以及7个晶系和14种布拉菲格子的简单证明。关键词：晶体的对称性；对称元素；晶系；布拉菲格子；空间群1晶体对称性的发展历史晶体学属于近代科学，尽管在遥远的古代具有规则多面体的矿物晶体就已引起人们的极大的兴趣和注意，然而在人类的蒙昧时期，瑰丽多彩的晶体却被具有魔力的神话和荒诞不经的迷信所统治，晶体学自17世纪中叶诞生，时至今日已有三百余年的历史。作为晶体学基础的对称理论的进展更令世人刮目相看。晶体对称性的历史发展过程可以从两个阶段来系统综述【1】。1.117世纪中叶—19世纪末有关晶体的知识自遥远的古代即有之，“晶体”一词源于希腊文“κρμξταλλσδ”意亦“因冷而凝结的”，即“冰”。拉丁文为“crystallum”，后转化为“crystal”。人类对晶体的兴趣最早是从具有各种各样多面体形态开始的，如六角形的雪、八面体的晶刚石等。晶体知识作为一门科学出现，科学界公认为17世纪中叶，丹麦学者斯丹诺（Nicklaussteno，1638-1686）率先奠立了第一块基石。1669年，斯丹诺在对石英和镜铁矿晶体观察之后，首先发现了晶体的面角守恒定律（即斯丹诺定律）。由于这一定律的发现，人们才在千变万化的晶体外形上找到初步的规律，从而奠定晶体学，特别是几何结晶学的基础。1688年，加格利耳米尼斯（1655-1710）把面角守恒定律推广到多种盐晶体上。此后，这2一发现停滞了一个世纪。1749年，伟大的俄国学者罗蒙诺索夫（1711-1756）研究硝石晶体后，明确的论述了关于硝石晶体角度不变的定律，从理论上阐明了面角守恒定律的实质。到1772年，法国学者罗姆·埃·得利（RomeDel＇isle，1736-1790）总结他测量的500种矿物晶体的形态，写出了一本关于晶体形态的重要著作，肯定了面角守恒定律的普遍性。从此，人们了解到晶体晶面的相对位置是每一种晶体的固有特征。1611年，德国学者开卜勒（kepler，1571-1630）发表了第一本关于晶体形态的小册子——《六角形的雪》。他通过对雪花的观察，发现了雪晶体上对应角度的恒等性，并得出了关于对称的初步概念。晶体学的第二块基石由法国学者阿羽伊（ReneJustHaüy，1743-1822）奠立。1784年，他发表了关于晶体内部构造的新见解——晶体系由无数具有多面体形状的分子平行堆砌而成。接着，他利用罗姆·埃·得利的测角数据，于1801年发表了著名的整数定律（阿羽伊定律）。从而满意的解释了晶体外形与其内部构造间的关系。据此引出，晶体乃是对称的，晶体的对称性不但为晶体外形所固有，同时也表现在晶体的物理性质上。阿羽伊之后，几何结晶学，特别是其中关于对称学说得到了迅速的发展。1805-1809年间，德国矿物学家魏斯（ChristianSamuelWeiss，1780-1856）根据对晶体的面角测量数据进行晶体投影和理想形态的绘制等，确定了晶体中不同旋转对称轴的对称性，继之又总结出了晶体的对称定律，即在晶体的外形上只可能有1、2、3、4和6次旋转轴，而不可能有5次和高于6次的旋转轴存在。魏斯于1813年首先提出将晶体分为六大晶系，他的工作为晶体对称分类奠定了基础。1830年，德国马尔堡大学矿物学教授赫塞尔（J·F·Ch·Hessel，1796-1872）首先推导出晶体外形可能具有的一切对称组合——32种对称型。1833年，诺意曼首次用基本正确的公式表达出晶面位置的几何对称性的联系，并认识到对称性是由内部事件所决定的。到1867年，俄国彼得堡炮兵学校的物理学教授加多林（1828-1892）在不知道前人工作的情况下，用严密的数学方法推导出晶体外形（有限图形）对称所可能有的形式——32种对称型。接着，德国数学家圣佛里斯（1835-1928）创立了以他的名字命名的对称型符号，格尔曼和摩根创立了国际符号，从而完成了晶体宏观对称理论的总结。1818-1839年间，魏斯（1818）和米勒尔（1839）（WilliamHallowsMiler，1801-1880）还先后创立了用以表示3晶面空间位置的魏斯符号和米勒尔符号。晶体上的左右对称形，也是在这个时期首先在石英晶体上发现的。由于晶体宏观对称理论的迅速发展，到17世纪末，整个几何结晶学便已达到相当成熟的境地。1.220世纪初—20世纪70年代19世纪中叶，关于晶体构造理论在已有的几何结晶学基础上，由于数学和物理学的帮助下进一步得到发展，在阿羽伊晶体构造理论启示下，19世纪产生的空间点阵和空间格子构造理论，逐渐演化成为质点在空间规则排列的微观对称学说。1842年,德国学者弗兰肯汉姆(MorilzLudwigFrankenheim,1800-1869)推倒出15种可能的空间格子。1855年，法国结晶学家布拉维（ArgufyBraves，1811-1863）修正了弗兰肯汉姆的结果，最终用数学方法推导出晶体的空间格子只有14种，并提出重合调动理论，为近代晶体构造学理论奠立了第一块基石。为纪念他的功绩，称14种空间格子为布拉维空间格子。德国学者桑克（L.Sohncke，1842-1897）进一步发展了晶体构造的几何理论，1879年引出微观对群的概念，在14种空间格子的基础上，推导出包括平移和旋转动作的65个桑克点系，用此可解释每一个晶系中对称较低晶类的对称问题。俄国著名结晶矿物学家费多洛夫（1853-1919）最终圆满的解决了晶体构造的几何理论。他创立了平行面体学说，提出反映及反映滑移等新的对称变换，从而于1889年推导出晶体构造（无限图形）的一切图形的对称形式，即230种空间群（费多洛夫群），并发现了结晶学极限定律。此后，德国学者圣佛利斯和英国学者巴罗（1848-1934）用另外的方法分别于1891年及1894年推导出了相同的230个空间群。晶体构造的微观对称几何理论就这样达到目标。19世纪末，关于晶体构造的几何理论业已成熟，并已被许多学者所接受。但是，理论还缺乏实验的证明。1895年，德国物理学家伦琴（1845-1923）意外的发现了X射线。1912年，德国学者劳厄（M.VonLaue，1827-1960）提出了X射线通过晶体会出现干涉现象的设想，并很快由他的学生弗利德利希和克尼平作了实验，证明了晶体格子构造的真实性。1912年成为晶体学史上划时代的一年。此后，法国学者布拉格父子做了大量的测量工作，开拓了晶体结构研究的新纪元。自1889年费多洛夫推导出230个空间群之后，晶体对称理论又停滞了半个多世纪，到20世纪50年代苏联结晶矿物学家舒布尼柯夫（1887-1970）又再次将对4称理论向前推进了一步，1951年提出正负对称型（又称反对称，黑白对称或双色对称）的概念，创立了对称理论的非对称学说。1953-1955年间，扎莫扎也夫和别洛夫（1891-1982）根据正负对称型概念加多了晶体所可能有的对称形式，将费多洛夫230个空间群发展为1651个舒布尼柯夫黑白对称群。1956年，别洛夫又提出多色对称理论的概念，并首先探讨了四维空间的对称问题。这些理论在晶体学、矿物学、晶体物理学领域中得到广泛的应用。在晶体学中，对称概念仅指物体在空间的变换性质而已。爱因斯坦给出的对称性定义为：对称性是在描述物体的变量的空间中物体经过某种变换后的不变性。如果我们感到这个定义令人费解的话，则费多洛夫的定义似乎更好理解一些。他认为对称性是：几何图形使自己的各个部分重合的性质，或者更确切的说，是几何图形在不同位置上与最初位置重合的性质【2】。对称规律在晶体学中得到了淋漓尽致的发挥。一般来说，晶体的宏观性质是各向异性的，但在某几个特定的方向上，晶体可以是异向同性的。晶体的宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象，称为晶体的对称性【3】。晶体的对称性包括宏观对称性和微观对称性之分.前者是指晶体的外形对称性,后者是指晶体微观结构对称性。2晶体的对称性晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。2.1晶体对称性的概念对称性概念：对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石5英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。如花瓣。●等同图形。如左右手。相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。●对称图形。由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形.2.2晶体的对称操作对称操作晶体的理想外形及其在宏观观察中所表现出的对称性称为宏观对称性，它与有限分子的对称性一样，也具有点对称的性质。其主要区别在于：由于晶体中存在的对称性必须与点阵的周期性相一致；因此，晶体的点阵结构使其对称性受到了限制。这种限制体现在以下两个基本原理上。（1）在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴（旋转轴、反轴、螺旋轴）都必须与此空间点阵中的一组直线点阵平行，且与一组平面点阵垂直；任何对称面（镜面、滑移面）都必须与此空间点阵中的一组平面点阵平行，且与一组直线点阵垂直。（2）晶体中的对称轴（旋转轴、反轴、螺旋轴）的轴次只限于=1，2，3，4，6等五种，而不可能存在5及6以上的轴次。即能把对称图形某一部分中的任一点带到一个等同部分中的相应点上去，使原图形与新图形重合的动作称对称操作。2.3对称要素进行对称操作时所依据的几何元素（点、线、面）称对称要素。对于晶体，共有7种对称要素：旋转轴，对称面（反射面），对称中心（点），旋转反演（射）轴，螺旋轴，滑移面，点阵（平移）。先介绍前4种：1）旋转轴。与旋转轴对应的操作是绕轴转动。若每转2π/n与自身重合，则该轴称n度（重）旋转轴。轴次n为该轴的对称性阶。62)对称面。相应的操作是镜像反映（射），如图1-2所示。其中m就是对称面。对称面的对称性阶为2。3）对称中心。相应的操作是反演。其对称性阶也为2，见图1-3。对反演操作，两个等同部分相应点间的连线必须通过对称中心，等同图形对应的连线反平行。图1（A到A’反转操作，a二重反转操作，b反射操作）4）旋转反演轴（转反轴）。相应的操作是旋转和反演的复合操作，反演点应在旋转轴上。与旋转轴类似，若每转2π/n并相继反演后与自身重合，则该轴就称n度（重）转反轴。图-为转反操作的一个例子。关于以上四种对称要素，进一步说明如下：1）与这四种对称要素相应的操作中至少有空间一个点保持不动。因此称这四种操作为点对称操作，与之对应的要素称点对称要素，与点对称操作相应的对称性称点对称性或宏观对称性。2）可以证明，旋转轴的轴次n只能取1，2，3，4，6，即只存在一，二，