浅谈如何提高学生的数学解题能力

1浅谈如何提高学生的数学解题能力宁波市第二技师学院数学组聂德升美国著名数学家G波利亚说过“问题是数学的心脏”，“掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”但数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫。要使学生身临题海而得心应手，身居考室而处之泰然，就必须培养他们的解题应变能力。有了较强的应变能力，在漫游“题海”时，才能随机应变。教师在教学中如何更好地引导学生解答数学问题，不断提高学生的数学解题能力是一件不容易的事，它是一项长期性的工作。解决数学问题是数学的核心，学数学就意味着解题。显然，解题能力标志着一个人的数学水平。那么做为数学教师，能否培养并提高学生的解题能力，不仅直接关系到学生学习数学成功与否，而且也是该教师数学教学业务水平高低的重要标尺之一，尤其是以问题的解决为重心的职业高中里的专业应用数学教学。教给方法，培养能力，是什么原因造成了学生“解题技能”和“解题智能”发展不均衡？这恐怕要涉及“教”、“学”、“思”三方面的原因。任教以来，在培养和提高学生解题能力方面，我进行了一些初步的探索。那就是古人所谓的“授之以渔”。那么如何培养学生的解题应变能力呢？我在这方面做过一点尝试，在此浅谈，以其引玉。一、就“教”而言我认为提高学生的数学解题能力，教师应重视如下几个方面w.21cn1、在平时的课堂教学中重视对学生的数学基础知识的掌握和基本技能的训练。对教学大纲中要求掌握的基础知识，基本技能，不能粗枝大叶，蜻蜓点水。因为，数学中的许多问题都是基础知识的综合，数学中的基本概念、性质、公式、定理是进行推理、判断、演算、解题的依据，因此，对数学中的基本概念、性质、公式、定理等，教师在教学时要注意它们的形成过程和推理依据，并引导学生注意知识之间的衔接，让学生随着学习的深入，对它们的认识和理解不断深化。例如：在教学绝对值的概念时，要重点分析“当a0时，a＝a；当a0时，a＝－a”的深刻含义，并在学生理解绝对值概念之后，可以给出以下习题加以巩固。1、如果x＝－2，则x＝______________2、如果2x＝2，则x＝_________________3、化简：2a＝____________；aa＝______________4、已知3x+21y＝0，求yx23＝_____________________25、有理数a、b在数轴上的位置如下图，试比较大小：（1）a与b；（2）ba与ab。a－10b1通过这些习题的训练，让学生对绝对值的概念有了更深刻的认识和理解。另外，在基本技能的训练中，学生运算能力的提高也是十分关键。因为运算是解题的根本，只有运算准确，才能使综合训练得以顺利进行，但是，许多学生的运算能力比较差是一直存在的老问题。出现这种现象的原因是多方面的，其中最重要的是许多学生在解题时往往是动脑不动手，动嘴不动笔，往往容易造成计算的错误。因此，只有让学生在思想上真正认识到提高运算能力的重要性，并在平时解题过程中克服粗心的毛病，才能逐渐提高学生的运算能力。解题教学的本质是“思维过程”，受年龄等因素的限制，学生思维发展有其特定的规律，这需要解题教学遵循学生认知特点，设置最近发展区，进行有针对性的训练。2、在平时的教学练中让学生熟练地掌握基本的数学思维方法和常用的数学方法。数学中的思维方法是在整体上指导我们分析和理解数学问题的一般原则，巧妙地运用数学方法是我们解答数学题的有效途径。作为教师在平时的教学中，一方面要善于引导学生一些基本的思维方法，另一方面又要重视指导学生学习数学的方法与掌握联想、类比、猜想、归纳等研究问题的方法。解答综合题的基本方法是分析综合，这种思维方法就是：由“已知”猜想“可知”，由“未知”猜想“需知”。若能够将“可知”与“需知”联系起来，解题的途径就会水到渠成。com]mp在平时的课堂教学中，我非常重视例题的典范作用。因为现在学生的解题仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，从而实现解题的类化。记得在《梯形》这部分内容的一节复习课中，我只讲了一道例题：2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s如图，梯形ABCD中，AB∥CD，2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：、AC为边作平行四边形ACED，DC2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[2育E网：，求证：EF=FB。AB（4）BOAOC3x2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]通过分析、讨论，进行一题多解，总共概括了8种解法，这8种证明方法将梯形问题中重要辅助线添法、中位线的知识等都囊括其中。2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s可见，一道好例题的教学，对学生思维品质和解题能力的提高有着积极的促进作用。2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s而且在讲解例题的过程中，我也坚持不懈地对学生进行数学思想的培养，并注意与实际联系，收到了较好的效果。比如像函数部分有这么一道题：已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3,0)，则a+b+c的值（）A、等于0B、等于1C、等于-1D、不能确定此题若从数上考虑，可得ab2=2，9a+3b+c=0，用含a的代数式表示b、c后，代入求解。但若利用函数图象，非常容易发现（3，0）关于对称轴x=2的对称点为（1，0），代入函数解析式，即得a+b+c=0。13可见，数形结合思想是一种重要数学思想，不仅达到事半功倍的效果，还可激发学生学习数学的兴趣。数形结合是数学中最重要的方法之一，人们一般把代数称为“数”，把几何称为“形”。数与形看上去是两个相互对立的概念，其实它们在一定条件下可以相互转化。代数方法容易操作，若不配以“形”，许多问题过于抽象，理解困难；几何图形比较直观，但证明几何问题常需添加辅助线，又使人感到难以捉摸，这就要借助“数”的方法去揭示其内在规律。数量问题可以转化为图形问题，反过来图形问题也可以转化为数量问题，而数形结合就是实现这种转化的有效途径。例如：在学习“不等式”这一章时，特别要注意介绍“数形结合”的思想方法；在学习“函数及其图像”时又要善于从图像运动的变换这一特性去寻找规律。解题中的数学思维源于对基础知识的深刻理解，所以习题的训练要回归课本中所涉及的基础知识。考试题往往涉及多个知识点，所以提高学生的数学解题能力应加强综合能力的培养。考试题对考生的能力要求，尤其对思维能力的要求越来越高，因此在平时的试题训练中，应有意识地培养学生从不同层次、不同角度、不同方向对问题进行分析，以活跃思维。D4提高学生的数学解题能力是一项重要而艰巨的任务，但不能急于求成，了不能盲目地搞题海战术，习题的训练要有针对性，讲求质量，讲求效益。在平时的数学教学中，我们教师应多引导学生进行思考，逐步使学生的思维能力由单向性发展为多向性。让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和方法。现实生活中，我们在解决问题时，常说的一句话：多动脑筋，用较少的钱做更多的事，不正是这个思想的真实写照吗？当然，在分析、讲题的过程中，我也不忘暴露自己在解题过程中的思维过程。“为什么要这样做”、”怎么想到的?”，这些问题是学生最感困难的。所以我就尽可能地将自身或者前人是如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一思维进程展示给学生，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到分析、思考和解决问题的思想方法和步骤，而且在适当时机，我也会展示自己思维受阻、失败的探索过程，分析其原因，从反面衬托正确思路的必要性与合理性，给学生以启示。3、在平时的教学中，注重让学生对解题后的“反思”，以提高学生的数学解题能力。提高学生的数学解题能力，受诸多条件和因素的影响。长期的学习经验表明，不少的同学在完成作业或进行解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，就是解题后的“反思”。一道数学题经过反复思考，苦思冥想解出答案之后，就心满意足了，而不再去思考、探索：这道题考查了我们哪些方面的概念、知识和能力？解答的每一步推理是否合理？这道题有没有其他的解法？多种方法中哪一种比较简单一点？把这道题的条件或结论进一步推广又会如何？等等。为了帮助学生养成解题后的“反思”这种良好的学习习惯，提高解题技巧，在教学时，可选择一些多种解题的习题，给学生训练。例如：已知：如图，AB切⊙O于点C。求证：∠CBD＝∠ABD。这道题可以引导学生添加辅助线，有四种证法，如图（证明过程从略）ｖEOCDABEOCDABECDAE（1）（2）5证法一：如图（1），延长AO交⊙O于点E，并连结EB，则∠ABD＝∠DEB，∠DBE＝090。证法二：如图（2），过D作⊙O的切线DE交AB于E，则DE⊥AO，∠ABD＝∠BDE。证法三：如图（3），延长BC交⊙O于点E，并连结ED，则∠ABD＝∠DEB，又由垂径定理可得∠CBD＝∠DEB。证法四：如图（4），连结BO并延长BO交⊙O于点E，连结DE，则∠ABD＝∠DEB＝∠EDO，∠EDB＝090。二、就“学”而言2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s学生提高解题能力的两条主渠道：一是听课学习、二是解题实践学生在听课的过程中，确有一部分同学重“结论”胜于“过程”，重“程序”胜于“意义”，对老师精心设计的“知识生长过程”、“结论发生过程”袖手旁观，丝毫没有投身其间、勇于探索的热情，眼巴巴地等待“结论”的出现、“程序”的发生，久而久之，势必造成数学思维的程序化，丧失钻研问题与解决问题的思维锐气，最后只有对见过的题型可以“照猫画虎”，对不熟悉的题型则一筹莫展，消极地等待“外援”。在解题时，学生多数为完成作业而“疲于奔命”，缺乏解题前的深刻理解题意和解题后的检验回顾，这种急功近利式的解题方式，造成了数学作业量虽大但效益低下。更有甚者，有的学生迫于教师必收作业的压力，盲目抄袭、对答案，老师改后也不改错，形成数学作业“一多”、“二假”、“三无效”(学生解题和老师批阅均为无效劳动)。针对学生在学习的过程中存在的问题，老师可以在平时的教学中从以下几方面加强对学生的训练：1、培养学生善于进行总结归纳的习惯！解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。例如，（高二代数）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1。证法一：由已知条件，得a2+b2+c2+d2=2。6根据算术平均与几何平均不等式，有2(ac+bd)≤a2+b2+c2+d2=2，∴ac+bd≤1。这样从已知条件出发，借助基本不等式直接证得结论，显得简捷明了。证法二：由已知条件可知a≤1，b≤1，c≤1，d≤1。于是设a=sinα,c=sinβ,则b=cosα,d=cosβ。∴ac+bd=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α－β),∴ac+bd≤1。这一证法，使用问题转化的策略，将代数问题，转化为三角问题，使证法显得更为简明。当然，无论哪种解法，都应将解题方法及时进行归纳总结，以促进解题能力的提高。2、善于进行引伸解完一道题之后，要善于把它“改头换面”。变成为多个与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目，这样可以扩大视野，深化知识，从而提高解题能力。例如：（初中平面几何）边长为