浅谈如何解决排列组合问题

1浅谈如何解决排列组合问题摘要：排列与组合是在高中数学课程里面是重要内容之一。解题前必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答,还要考虑“是有序”的还是“无序的”。排列组合问题的实际应用非常广泛,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,如何提高学生解决排列组合问题的能力呢？我认为除了必须领会加，乘原理，熟悉几类典型例题外，还应让学生掌握几种必要的解题方法和原则。下面就通过一些实例来介绍实际应用中的解题技巧。关键词:排列、组合一、特殊元素和特殊位置优先法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288CCA二、相邻元素捆绑法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480AAA种不同的排法。乙甲丁丙三、不相邻问题插空法对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456AA种四、定序问题倍缩空位插入法C14A34C132对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/AA(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有47A种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法五、重排问题求幂法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为nm种。例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法六、环排问题线排法一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn。例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！HFDCAABCDEABEGHGF七、多排问题直排法。一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A种,则共有215445AAA种前排后排八、排列组合混合问题先选后排法3解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454CA九、小集团问题先整体后局部法小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A种排法，再排小集团内部共有2222AA种排法，由分步计数原理共有222222AAA种排法.十、元素相同问题隔板法将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC。例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。一班二班三班四班五班六班七班十一、正难则反总体淘汰法有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰。例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C,只含有1个偶数的取法有1255CC,和为偶数的取法共有123555CCC。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559CCC十二、平均分组问题除法平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nnA(n为均分的组数)避免重复计数。例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得222642CCC种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则222642CCC中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A种取法,而这4些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/CCCA种分法。十三.、合理分类与分步法解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233CC种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534CCC种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255CC种，由分类计数原理共有22112223353455CCCCCCC种。十四、构造模型法一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有35C种十五、实际操作穷举法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果。例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C种5343号盒4号盒5号盒十六.、分解与合成法分解与合成法是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题方法。例16.30030能被多少个不同的偶数整除？分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1234555555CCCCC十七、化归法5处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题。例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111321CCC种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有3355CC选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有3311155321CCCCC选法。十八、数字排序问题查字典法数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:297221122334455AAAAAN十九、树图法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果。例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______10N二十、复杂分类问题表格法一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果。例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:二十一、住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.总结排列与组合是在高中数学课程里面是重要内容之一。排列组合历来是学习中的难点，解决排列组合综合性问题的一般过程如下:①认真审题弄清要做什么事②怎样做才能红111223黄123121兰321211取法1415CC2415CC3415CC1325CC2325CC1235CC6完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分