浅谈学习实变函数的感受

浅谈学习实变函数的感受——从Riemann积分到Lebesgue积分张六凤数学与应用数学1210503323摘要：本文首先介绍了Riemann积分的定义和Riemann积分的缺陷，再介绍了Lebesgue积分的定义。最后指出了Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系。发现Riemann积分和Lebesgue积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，Lebesgue积分可以看作是Riemann积分的推广，同时.Lebesgue积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次智力革命，Lebesgue积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代.关键字：Riemann积分Lebesgue积分一、Riemann积分（一）定义（R）∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=b𝑎lim|T|∑𝑓(𝜉)Δ𝑥𝑖𝑁𝑖=1其中Δxi=𝑥𝑖−𝑥𝑖−1,𝑥𝑖−1≤𝜉𝑖≤x𝑖(二)几何意义（非负函数）：函数下方图形的面积注意：Riemann积分与分割T，介点𝜉𝑖无关（三）Riemann积分的缺陷Riemann积分理论把区间的长度作为测量点集的大小的基础，有界开区间（a,b）的长度即b-a，根据我们的常识，实数轴上的任意有限多个两两不交的有界开区间的并集的大小，恰是组成它的开区间的长度总和，定义为测度，这个规律就是所谓有限可加性。如果在实数轴上任意的一个有界的范围内，有无限多个两两不交的有界开区间，他们的并集是不是应该有个大小尺寸即测度，并且这个集的测度应该恰为组成它的所有的开区间的长度的总和呢？从有限可加性到σ–可加性，放映了人们对客观世界的认识从“有限”发展到“可数无限”的提高所以Riemann的理论还停留在初等水平上，它不承认测度σ-可加性，这是它的本质缺陷。二、Lebesgue积分（一）定义设E是一个勒贝格可测集，()mE，()fx是定义在E上的勒贝格可测函数，又设()fx是有界的，就是说是否存在l及μ，使得()(,μ)fEl，在,μl中任取一分点组D10μnllll记11()max()kkknDll1(())kkkEElfxl并任取ζikE（我们约定，当kE时，(ζ)()0ikfmE），作和1()(ζ)()nikkSDfmE如果对任意的分法与ζi的任意取法，当()0D时，()SD趋于有限的极限，则称它为()fx在E上关于勒贝格测度的积分，记作()EJfxdx三、Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系（一）、可积函数的连续性连续函数是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是勒贝格可测函数，那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件：函数()fx在,ab上黎曼可积的充要条件是()fx在,ab上一切间断点构成一个零测度集.这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的.例如黎曼函数为无理数，当为互质的整数）当xpqqqpxqxf0,,0(/,/1)(这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.虽然在0,1中有无穷多个有理点，即黎曼函数在0,1上的不连续点有无穷多个，但这个函数在0,1上仍是黎曼可积的，且有10()0fxdx事实上，0,1中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数()fx是黎曼可积的.现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质呢？设()fx是可测集(())ERmE上的连续函数，则()fx在E上勒贝格可积的充要条件是()fx在E上勒贝格可测.有限区间上的连续函数是可测函数，对于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数.从这里我们也可以看出黎曼可积函数必是勒贝格可积函数.（二）积分的可加性[4]这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性.黎曼积分具有有限可加性，即若1niiEE，,(1,2,...,)iEEin均为有限区间，ijEE（ij）则有1()()inEEfxdxfxdx但是黎曼积分不具有可数可加性，对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷参考文献[1]李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002.[2]刘玉莲等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.