浅谈数学学习中发散思维的培养

浅谈数学学习中发散思维的培养陶思田陕西省山阳中学726400内容摘要：发散思维是一种创造性思维，数学学习具有培养发散思维的优势。本文通过对培养发散思维的条件、思维发散的线条及诱发点的简要分析，结合数学学科的特性，分别阐述了通过一题多解、一题多探、一题多变培养发散思维的灵活性、深刻性及广阔性。关键词：发散思维培养线条诱发点为了全面了解数学学科的学习和探究数学的发展规律，达到学以致用，融会贯通的学习目的，发挥数学训练思维的优势，提高数学素质，学习过程中的发散思维训练，尤显重要。1．数学思维与发散思维1．1数学思维思维是具有意识的头脑对客观事物的反映。数学思维是思维的一种，它即受到一般思维方式的制约又包含一般思维的本质又显现出它自己的特征，这种特性由数学学科的本身以及用以认识现实世界现象的方法所决定。所以数学思维是思维在主体认识中，运用数学方法、数学概念、数学知识思考对象的一种较为稳定的致思取向和思维特征，它以运用数学方法作为核心要素和最重要的表现.1．2发散思维发散思维是一种创造性思维，它具有流畅、变通、独立等特征，不拘泥于常规、常法，善于开拓、变异，是从多种渠道寻求解答的一种思维方式。从对数学的学习来说，就是根据学习目的，有机地、适当地沿不同的方面去思考，把记忆中的信息和当前的信息加工、合并、重组产生出新的信息，这样就能在学习过程中掌握数学知识之间的内在联系，彻底理解所学内容，巩固所学知识，并能培养学习能力，激发学习兴趣，开拓视野。因此，发散思维的训练在学习中具有积极的意义。2．训练发散思维的前提2．1思维空间。任何一个思维都是一定地先后延续和上下左右的活动来实现的。客观上有一定的事物，主观上掌握了许多知识、积累了有关经验，主观的对应，产生出因人而异的空间表象与观念，即形成了关于这一事物的思维空间。显然，思维空间的阔窄，空间内线路的畅阻，决定了思维发散的强度和频率。2．2知识基础。思维是人的头脑进行推理、概括、判断的精神活动，而知识是进行这种精神活动的物质基础。因而，在进行思维训练前，应掌握必要的有关的定义、性质和判定方法等知识。2．3联想意识。所谓联想就是从一事物到另一事物的思维跳跃。有较强的联想意识，思维可以辐射开来，一旦清晰便是发散思维的多条思路。有时只产生于这种联想，思路闭塞，总在题设的范围内兜圈子。2．4类比意识。类比意识较之联想意识具有抽象性，可以说是一种抽象的联想意识。如学习等差数列的定义和通项公式后，那种两个变量的变化关系，会使我们去类比一次函数，从而认识到等差数列的通项na是关于n的一次函数的道理，其图象必定是某直线上的孤立的点，且点的横坐标是自然数。通过类比，揭示了等差数列的本质。3思维发散的线条及诱发点3．1线条主要有以下六条线条：①顺向线条；②逆向线条；③肯定线条；④否定线条；⑤直接线条；⑥间接线条。3，2诱发点我们把引起主观思维的客观对象称为诱发点。善于发现和抓住诱发点，有利于发散思维的形成。引起思维发散的诱发点，归纳起来，大致有以下几种：①从某一基本属性发散；②从某一基本公式发散；③从某一基本关系发散；④从某一基本方法发散；⑤从某一基本思想发散；⑥从某一基本图形发散。4发散思维的训练4．1在“一题多解”中培养发散思维的灵活性对于一道数学题，往往由于审视的方向不同而得到不同的解题方法。在练习中，搜索所学的知识，在知识范围内，尽可能的提出不同的新构想，追求更好、更巧、更简捷的解法，这不仅有利于对基础知识的横向联系和沟通，而且有利于培养发散思维和创新能力。例1在椭圆1204522yx上，求一点P，使它与两焦点的连线互相垂直（人教版《数学》第二册（上））。对这道习题从解题思路的角度进行发散，不难得到以下几种解法：解法1：由a=53，b=52，得c=5，F1（－5，0），F2（5，0）.设P（00,yx）.由PF1PF2，21PFPFkk=－1，有1550000xyxy，①120452020yx，②联立①、②得1692020yx所以满足条件的点有4个（3，4），（3，－4），（－3，4），（－3，－4）解法2：因为21PFPF所以P点在以21FF为直径的圆周上，故有252020yx联合120452020yx，下同解法1。解法3：因为),,5(001yxPF),5(002yxPF由21PFPF，得021PFPF所以0),5),50000yxyx（（,即252020yx，下同解法1、解法2。解法4：因为013553xPF，023553xPF，得21PFPF，所以在Rt21PFF中,2212221FFPFPF，代入得920x,下略。解法5：设.sin52,cos5300yx,)sin52()5cos53(2221PF,)sin52()5cos53(2222PF由勾股定理2212221FFPFPF，得,52sin,51cos下同解法1。解法6：设m=1PF，n=2PF,由mnnmnm2)(10010222240mn所以S=,21,2021021yFFSmn又所以40y，以下同解法1。“一题多解”模式在一定程度上可以让我们从多角度观察、思考、联想、概括并获得多种解题途径，从而不断掀起学生的思维火花，开阔他们视野，增添学习数学的兴趣，更能培养发散思维的灵活性。4．2在“一题多探”中培养思维的深刻性“一题多探”的模式有如下两种形式的设计：第一种形式：对同一题设条件，引导观察和思考，由此导出各种结果进行探索分析和论证，从而构造出在同一题设下的多个命题。例2已知AB是☉O的直径，PA☉O所在的平面，C是圆周上的任意一点，求证：平面PAC平面PBC。证完此题后可引导学生观察题设条件，让学生思考，还可以得到哪些结果？不难发现如下结论：（1）都是直角三角形、、ACBPACPBA（2）平面PBC,PAC平面平面PACABC平面,平面PABABC平面(3)是平面的平面角，与平面是平面PCAPABPACCABPBC与平面ABC的平面角(4)AC是异面直线PA、BC的公垂线（5）求点A到平面PBC的距离（6）cosPBCABCSSPCA（7）PACABCABCPSBCSPAV3131第二种形式：就是对一个确定的结论或某个数学概念，引导学生探索能使该结论或该概念成立的充分条件或充要条件。4．3在“一题多变”中培养发散思维的广阔性“一题多变”模式是将数学问题的条件、结论同时发散，对一个问题由特殊到一般或由特殊到特殊地推广，一般是把条件或结论进行相似变换，即在条件元素的基础上进行推广。例如：在几何方面，常表现为线段或边数（角数）的增加或从平面到空间进行推广；在代数方面常表现为变量的递增；在三角方面常表现为角度或含角的三角函数的研究。通过研究可推出不同方面的命题，有时也是一种类比性质的推广，往往会得到一些形式相似的结论。如将例1可进行如下变式与推广探究：变式1：在椭圆1204522yx上是否能找到这样的点，使它与)0,(1mM、)0,(2mM)0(m的连线互相垂直？假设这样的点存在，其坐标为),(yx，则1809422yx，22myx，解得),20(9522mx),45(4522my又0y，故0,022yx，于是可得当5352m时，这样的点才存在。变式2：在椭圆12222byax（)0ba上是否能找到这样的点，使它与两个焦点的连线互相垂直？利用前面方法可得：当bc，即ba2时，这样的点有4个；当bc，即ba2时，这样的点有2个；当bc，即ba2时，这样的点不存在。可见，这样的点是否存在决定于其离心率e的大小，即当122e时，这样的点有4个；当22e时，这样的点有2个；当220e时，这样的点不存在。变式3：把椭圆变为双曲线呢？抛物线是否有类似的性质？一般的圆锥曲线呢？以标准方程12222byax为研究载体，若从图形出发，则以它的两个焦点为直径的圆与双曲线总有4个交点；若从方程思想出发，则由12222byax，222cyx得22222)(ccbax，242cby，故方程组有4组解。由于抛物线只有一个焦点，为此把焦点关于顶点的对称点想象为一个“虚”焦点，用类似的方法也能得出这样的点必存在，且共有两个。经过对上述问题研究，可得出以下的结论：对于离心率e不小于22的圆锥曲线，这样的点总存在。通过这样多方位、多角度、多层次的探究，可以使学生的思维品质不断得以提升。学生在学习中形成一种乐趣，提高学习的层次，扩展认识数学问题的视野，从而培养了发散思维的广阔性。5发散思维培养的两个有利因素5．1有利于掌握数学这门工具学科对于数学的发散思维的培养，不但要把双基搞扎实，还应重视思维能力的培养。所以搞好双基与发散思维的培养是相辅相成的，双基是发散思维的基础，发散思维反过来又深化了双基，只有认识了这一点才有可能承认发散思维的培养对掌握数学这门学科的重要性。5．2有利于数学知识的深入挖掘要学好数学，要把数学学活、学深，就要重视发散思维的培养。主要做好以下三点：（1）多运用归纳、类比探索性的演绎，学会联想。（2）在日常学习中力求多角度、多变化、多层次，沟通数学知识的纵横联系。（3）在解题过程中多探讨、多提问，要不依常规。参考文献：[1]任章辉。《数学思维论》[M]。吉林人民出版社[2]曹才翰、郭思乐。《数学思维教育论》[M]。上海教育出版社[3]郑君文、张恩华。《数学学习论》[M]。广西教育出版社[4]《中学数学教学参考》[J]。2007年1、2期[5]《数学通报》[J]。2007年3期