浅谈数学归纳法的应用

浅谈数学归纳法的应用姓名：孙静静学号：200740510534指导教师：崔艳摘要：数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种方法，应用广泛．数学归纳法的应用不仅仅体现在中学数学中，在高等数学命题的证明中也起着极为重要的作用.文中通过对范德蒙德行列式的证明、二次型标准化定理的证明、数学归纳法证明数列的单调性以及用数学归纳法证明整除问题、恒等式问题以及数学归纳法与其他知识点的交汇等问题来谈一谈数学归纳法在数学命题的证明上所突出的重要应用.关键词：数学归纳法应用引言：数学归纳法是一种数学证明方法.典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是著名的结构归纳法.已知最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo(1575年).Maurolico证明了前n个奇数的总和是n2.最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由以下两个步骤组成的.（1）、递推的基础：证明当1n时表达式成立；（2）递推的依据:证明假设当kn时表达式成立，那么当1kn时表达式也同样成立.（递推的依据中的“假设”为归纳假设，而不要把整个第二步都称为归纳假设）.归纳假设这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明是成立的，那么任何一个值的证明都是可以被包含在重复不断进行的过程中的.数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是已经规定的了.，然而它也可以用一些逻辑方法证明，在此就不予证明了.用数学归纳法进行证明表达式通常分为三个步骤：（1）归纳基础验证当n取第一个值时命题成立，这时就获得了递推的基础，但是仅仅依靠这一步是不能说明结论的普遍性的.在验证时，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再多考虑几个正整数，即使命题对这几个正整数成立，也是不能保证命题对其他正整数也成立.（2）归纳递推假设当kn时命题成立，证明当1kn时命题成立.这样便获得了递推的依据，在此必不可少的便是第一步的基础，只有二者结合，才能获得普遍性的结论.（3）下结论最后得到普遍性的结论，即表达式成立.然而需要注意的有：用数学归纳法进行证明时，“归纳基础”和“归纳递推”二者缺一不可；在归纳递推中，递推之前，kn时结论是不确定的，因此必须有假设二字.这一步的实质是证明命题kn时的正确性可以传递到1kn时的情况，这样再加上递推基础，就能推得命题成立.1.范德蒙德行列式的证明行列式d=11312112232221321....1...111nnnnnnanaaaaaaaaaaa称为n级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.我们来证明对于任意的n（n≥2），n级范德蒙德行列式等于naaa,,21这n个数的所有可能的差nijaaji1的乘积.证明：对n作数学归纳法.当2n时，122111aaaa，结果是对的.设对1n级的范德蒙德行列式结论成立，那么对n级范德蒙德行列式d=11312112232221321....1...111nnnnnnanaaaaaaaaaaa=21123113221121231232122113120001111nnannnannanananaaaaaanaaaaaaaaaaaaa=（a2-a1）(a3-a1)…(an-a1)2232232111nnnnanaaaaa后面的行列式便是1n级范德蒙德行列式，由假设可知结论成立.因此可得，结论对n级范德蒙德行列式成立，根据数学归纳法完成了证明.即有11312112232221321....1...111nnnnnnanaaaaaaaaaaa=nijajai1)(成立.2.二次型标准化定理的证明定理：数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2222211nnxdxdxd的形式.证明：对变量的个数n作数学归纳法当1n时，二次型就是2111xaxf结论显然成立.现假定对1n元的二次型，均有定理的结论成立.再设11,2,1,ijajiaijxjxiaijxnxxf分三种情况讨论：（1）niaii,,2,1中至少有一个不是0，不妨设011a，此时有211121,,xfaxnxx+22211121ijxjxiaijixxiaixjxjja=2221111111ijxjxibijjxjjaxaa，其中2221111222ijxjxiaijjxjjaijxjxibija是一个nxxx,,,32的二次型.令,,,222111111xnynxyjjaxyxja，即,,,222111111ynxnyxjxjjayxa，这是一个非线性替换，它使2221112,1,,ijyjyibijaxnxxyf.由归纳法假定，对后者有非退化线性替换能使其变成平方和的形式，于是就有非退化线性替换能使211121,,xfaxnxx+22211121ijxjxiaijixxiaixjxjja变成平方和的形式，定理得证.（2）所有,0aii但是至少有一,101jja不失一般性，不妨设.012a令,,,,33212211znxnzxzzxzzx，它是非退化线性替换，且使221221122121122112212222,,,zzfaazzzzaxxaxnxx，这时上式右端是nzzz,,,21的二次型，且1z的系数不是0，属于第一种情况，定理成立.（3）011211naaa.由于对称性有，013121naaa.这时二次型是1n元二次型，根据归纳法假定，结论成立.于是定理得证.3.数学归纳法证明数列的单调性例：设11,0,2,1,0,aananaana，求证数列na是单调递增数列.证明：当1n时，有,112aaaaa假设当1kn时，有不等式1akak，则当kn时有，akaaakakak11，故有数列na单调递增.命题得证.4.整除问题的证明例1、是否存在正整数m，使得9372nnnf对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：当1n时有3693721f，当2n时有363108937422f，当3n时有3610360937633f，由此推想存在正整数m，且m的最大值为36，即对任意的自然数n都能被36整除.当1n时明显有命题成立；假设当kn时有命题成立，即9372kkkf能被36整除.那么当1kn时有131893723183239372393712111kkkkkkkkkf由于131k2k是2的倍数，故有13181k是36的倍数，即13181k能被36整除，由假设得1kf能被36整除，即命题成立，故存在最大的正整数m，且m的值为36.5.恒等式问题的证明例、是否存在常数cba,,，使得等式)(12)1()1(32212222cbnannnnn对一切自然数n成立？并证明你的结论．解：假设存在常数cba,,，使得等式成立，则当3,2,1n时有等式成立，即有cbacbacba3970)24(2122)(614解得：10,11,3cba，故对3,2,1n时，等式)10113(12)1()1(32212222nnnnnn成立.令222)1(3221nnSn假设kn时上式成立，即)10113(12)1(2kkkkSk那么21)2)(1(kkSSkk22)2)(1()10113(12)1(kkkkkk2)2)(1()53)(2(12)1(kkkkkk)101253(12)2)(1(2kkkkk]10)1(11)1(3[12)2)(1(2kkkk这就是说，等式当1kn时也成立，假设成立.故当10,11,3cba时，题设的等式对一切自然数n都成立.6.与其他知识点的交汇例、平面上有n个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证这n个圆分平面为22nn个部分．解：记n个圆分平面的部分数为ns.当1n时，有21121s，命题成立.假设当kn时，有命题成立，即有22kksk成立.则当1kn时，第1k个圆与前k个圆有k2个交点，而这k2个交点把第1k个圆分成k2段，每一段把前面的平面一分为二，从而共增加了k2个平面，故有2112222221kkkkkkksk，即当1kn时，有21121kksk成立.综上所诉，命题得证.点评：关于这类几何问题，关键在于分析k与1k的差异，k到1k的变化情况，然后借助于图形的直观性，建立k与1k的递推关系．文中通过一系列的例题，最直观的介绍了数学归纳法在数学命题证明上的重要作用，通过对数学归纳法在各个不同知识点上的不同应用的总结，进一步了解学习数学归纳法的重要意义，同时为以后步入教学工作，突出重点地介绍数学归纳法奠定基础。用数学归纳法证明问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能使得命题成立，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。参考文献：《高等代数》（第三版）高等教育出版社；《数学分析》（第三版）高等教育出版社；中学数学考试资源网