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-1-宜宾学院毕业论文论文题目数学美姓名曾娜娜院（系）数学系专业教育班级12级5班实习单位宜宾市七中电话号码15284193745指导老师刘志平完成时间2015.3-2-数学美【摘要】爱美之心，人皆有之，人们执著地追求美。但什么是美？却只能意会，不能言传。然而当我们聆听一首优美的乐曲，观看一幅精美的图画，或置身于幽雅的大自然中，我们便会全身心地感到愉悦，受到一种美的陶冶。可是除了艺术的美、大自然的美外，人们是否想到科学也有美，数学也有美呢？有不少中小学生认为学习数学很艰苦、枯燥无味，不存在什么美感的问题。只是为了考试，为了升学而不得不学习数学。数学果真无美感可言吗？否。古今中外有许多知名学者都认为数学是美的，并作过精辟的论述。古希腊学者毕达哥拉斯说：“美就是和谐，整个天体是一种和谐，宇宙的和谐是由数组成的，因而构成了整个宇宙的美。”英国哲学家、数学家罗素认为：“数学，如果正确地看它，不但拥有至高的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性脆弱的方面，这种美没有绘画或者音乐那种华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到只有伟大的艺术才能谱写的那种完美的境地。”这就道出了美的特殊性。香港旅美数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐说：“数学家寻美的境界，讲求简单的定律，解决实际问题，而这些因素都永远不会远离世界。”即数学有取之不尽的源泉。数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。【关键词】语言美和谐美奇艺美对称美-3-【引言】在高中的时候，我学习不好，因为成绩不好的原因渐渐的也不怎么喜欢读书了。那时我的数学老师是一个快要退休的男老师（我们班的学生都叫他梅爷），他人特别的慈祥也很关心学生，时不时的再上课的时候讲一个，两个冷笑话来调节一下气氛。每次当我昏昏欲睡的时候总会被他讲的幽默笑话给弄醒了。我很喜欢梅爷，也喜欢他讲的笑话，因此喜欢上了数学，顺理成章的来到了数学系。记得一次在数学课上老师给我们看来一些图片（这些图片特别的奇妙明明是一副静的图片，可是看起来确是动的）当时就被这些图片给震撼住了，居然数学中还存在着这么多好玩儿的东西！现在的我数学根本谈不上什么造诣，但是却总有一种好奇心激励着我去了解数学的美。伽利略曾今说过：“自然这部书由数学语言写成的，哪里有数学，哪里就有美”。数学是美的，数学是美的科学。数学美的表现形式是多种多样的，从内容来看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。1语言美数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括：1.1数的语言——符号语言关于“”，《九章算术》如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sinα、∞等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。1.2形的语言——视角语言从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值”让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。2．简洁美-4-爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？！在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2πR勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方+=。正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则RCcBbAa2sinsinsin数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。庞加莱指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。3．和谐美美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一．和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性．没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：513114，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。欧拉公式：1ie，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是ieisincos（１）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”。数学最伟大的和谐美要从黄金分割说起了。黄金分割又称黄金律，是指各部分间一定-5-的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。在正五边形中，边长与对角线的长的比例为黄金分割。在自然界中黄金分割也广泛的存在，比如说向光的相邻两片叶子的也柄的的角度大部分是成137度28分的，而这个角度恰好是把一个圆分成为1：0.618，又是一个完美的黄金分割。这有什么原因呢？原来当植物的相邻叶子呈这个角度分配的时候可以最大限度的吸收阳光，最大化的利用了阳光，为植物自己的生长常创造了良好的条件。甚至在人体上也有大量的黄金分割，人的肚脐到脚的距离与让你的身高之比为黄金分割，人的鼻尖到额头顶的距离与人的整个头的长度的比为黄金分割比，一只眼睛与头的宽度之比也为黄金分割。被誉为美神的维纳斯像就是按照黄金分割比来雕刻的。在建筑学中黄金分割的地位更不用说。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为；伟大的金字塔，巴黎圣母院都存在着大量的关于黄金分割的比例。当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体温）约为0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比215为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。与215有关的问题还有许多，“黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。4．奇异美全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数bcab，不合理地把b约去得到ca，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：9849,9519,6526,6416。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。还有一些“歪打正着等式”，比如-6-52292592252552253131112119112933人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，形成的是椭圆．当ｅ＞１时，形成的是双曲线．当ｅ＝１时，形成的是抛物线．常数ｅ由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。5．对称美在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形—―圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形—―任何一条直径都是它的对称轴。梯形的面积公式：Ｓ＝2)(hba，等差数列的前ｎ项和公式：2)1(nnaanS，其中ａ是上底边长，ｂ是下底边长，其中ａ１是首项，ａｎ是第ｎ项，这两个等式中，ａ与ａ１是对称的，ｂ与ａｎ是对称的。h与n是对称的。回文数字：任意某一个数通过以下方式相加也可得到算式，如：29+92=121还有194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992另外个别平方数是回文数1的平方等于111的平方等于121111的平方等于12321-7-1111的平方等于1234321…………依次类推3×51=1536×21=1264307×62=2670349×7×533=33579上面这些算式,等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算式中的“×”和“=”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。6．创新美欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何。黎曼几何学没有平行线。这些与传统观念相违背的理论，并不是虚无飘渺的，当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的广义相对论中，较多地利用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难。每一个理论都在需要不断创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受的难到不是切入肌肤的美吗？如果我们再大胆设想一下，是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢？事实上，通过高斯曲率可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中，还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来。在不断创新的过程中，数学得到了发展。-8-7．统一美数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k（a1，a2，a3，a4为实数）的数，其中ｉ、ｊ、ｋ如同复数中的