浅谈数学解题方法

浅谈数学解题方法阿扎提古丽∙巴拉提吉首大学数学与统计学院20124041058摘要:解决数学问题，除了必须掌握相关的数学内容的基本知识外，还必须掌握一定的解题技巧与方法。把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。本文提到的是最基本、最常用的数学方法。常用的解题方法有：配方法、因式因式分解法、换元法、待定系数法、反证法、几何变换法、数学归纳法、参数法、数形结合法等。关键词：数学方法解题方法MethodofsolvingmathematicsproblemAbstract:Solvingmathematicsproblems,inadditiontomasterthebasicknowledgeoftherelevantmathematicalcontent,butalsomustgraspacertainproblem-solvingskillsandmethods.Toexpressacertainmathematicalproblem,andusethefunctiontoexplorethegenerallawoftheproblem.Thispaperreferstothemostbasic、themostcommonlyusedmathematicalmethods.Commonmethodsofsolvingproblemsareasfollows：methodofcompletingthesquare、decompositionmethod、Changeelementmethod、Themethodofundeterminedcoefficients、proofbycontradiction、Geometrictransformationmethod、mathematicalinduction、Parametermethod,、Thecombinationofnumberandshapeetc.Keywords:mathematicalmethodProblemsolvingmethod.对于学生而言,数学是一门冷而严肃的学科，更是一门特别枯燥的学科。从科学的意义上，数学可以定义为，数学是一门研究现实世界空间形式与数量关系的学科；从某种角度看，数学可以分为初等数学和高等数学两个部分。华罗庚说过“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身重要。”伟大数学家华罗庚说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁、无处数不用学。”生活处处皆学问、而数学则是无处不在，而问题是数学的心脏，我们所做的就是通过各种方法去解决问题。数学方法是以数学为工具进行学科研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，形成解释、判断和预言的方法。数学方法是数学解题的重要桥段，可以使学生进一步熟练的掌握教材、了解数学概念、发现新规律并且更巧的解决数学中的各类问题，从而，提高解题技巧、积累教学资料、提高解题水平。在数学问题的解题过程中，用到的数学方法有：1.配方法配方法是解一元二次方程的一种常用方法。配方法就是将一元二次方程由一般式ax²+bx+c=0化成(x+m)²=n,然后利用直接开平方法计算一元二次方程的解的过程；其过程可总结为五步：一消，二配，三移，四开，五计算结果。例：求2x2+x−1=0的解○1一消：消除二次项系数2(x2+12x)−1=0○2二配：把一次项系数配成一个或几个多项式正整数次幂和的形式2(x2+12x+116)−1−18=0○3三移：把常数项移到等式右边使其变成完全平方形式2(x+14)2=98（x+14)2=916○4四开：对等式进行开平方运算x+14=±34○5五计算结果x=34−14=12或x=−34−14=−12.因式分解法把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。因式分解的方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等等，除此之外还可以以利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等。例：分解x2−2x−y2−2y解：x2−2x−y2−2y=(x2−y2)−2(x+y)=(x+y)(x−y)−2(x+y)=(x+y)(x−y−2)3.换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，在式子之间进行等量之间的变换，使比较复杂的式子进行转化使问题简单化，最后再把所造的元换回。例：解方程(x2−x)2−4(x2−x)−12=0解：令x2−x=y，使原方程变成y2−4y−12=0(y−6)(y+2)=0y=6或y=−2x2−x=6;x2−x−6=0(x−3)(x+2)=0x=3或x=−2x2−x=−2x2−x+2=0由于，判别式∆=1−8=−70，所以无解综上所述，原方程的解为x=3,或x=−24.待定系数法待定系数法，就是设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例：已知，一次函数的图像经过（2，7）和（−5，6）两点，求一次函数的解析式。解：设一次函数的解析式为y=kx+b∵函数图像经过（2，7）、（−5，6）两点∴把（2，1）、（−3，6）代入y=kx+b中{1=2k+b6=−3k+b从而有，k=−1,b=3于是，所求一次方程的解析式为：y=−x+35.反证法所谓反证，就是首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法是一种间接的证明方法,在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。反证法的一般步骤:(1)反设:假设原命题不成立(2)归缪:根据自己的假设,得出与原命题相矛盾的结论(3)得证:由矛盾的新结论,从而得出原命题成立.例：证明，如果ab0,那么√a√b解析：（利用反证法）假设√a√b不成立，即√a≤√b若√a=√b,那么就有a=b,这与√a√b矛盾若√a√b,那么就有ab,这与√a√b矛盾综上，所做的假设不成立，原命题结论成立。6.几何变换法所谓几何变换法，就是运用几何变换把分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使散的条件都集中在某个基本图形中，建立起新的联系，从而使问题得以转化解决。几何变换一般包括平移变换、对称变换、旋转变换等等。例：如图所示，在△ABC中，以BC边的中点M为顶点，作∠DME=90゜，两边分别交AB于点D，交AC于点E。求证：BD+CE〉DE证明：以ME为对称变换，将△EMC的对称图形△EMC’，连接DC’则有EC=EC’，MC=MC’，∠CME=∠C’ME∵∠DME=90゜，即∠C’MD+∠C’ME=90也有∠BMD+∠CME=90゜，可得∠BMD=∠C’MD又∵M为BC边的中点∴BM=CM从而BM=C’M∴可得△BMD≅△C’MD∴BD=C’D在△DC’E中有DC’+EC’〉DE故BD+CE〉DE7.数学归纳法归纳法就是指，对于某类事物，由它的一些特殊事例或全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法两种。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法。伟大数学家苏步青讲过“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然、然后知其所以然。”，在这个“知其然，然后知其所以然”的过程中最重要的就算推理，也就是所谓的数学归纳法。数学归纳法实际上就是一种递推得数学论证方法，论证步骤有：第一步，证明当取一个值n0(或n0=1）时命题成立；第二步，假设当n=k(k∈N∗,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。这个验证方法与步骤对于任何自然数结论都正确。例：用数学归纳法证明12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6证：当n=1时，左=12=1，右=1(1+1)（2+1）6=1，∴n=1时，等式成立。假设n=k时，等式成立，即12+22+32+⋯+k2=k(k+1)(2k+1)6那么，n=k+1时，左=12+22+32+⋯+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)(k+2)(2k+3)6=右∴n=k+1时，原等式成立。综上所述，当n∈N∗时，原等式成立。8.叁数法叁数法是指在解题过程中，通过适当的引入一些与题目有关的数学对象发生联系的新变量（叁数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。叁数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。例：过点P（√102，0）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M、N，求PM∙PN的最小值及相应的α的值。解：设直线的方程为{x=√102+tcosαy=tsinα(t是叁数)，代入曲线方程并整理得（1+sin2α)t2+(√10cosα)t+32=0设M、N对应的叁数分别为t1、t2而由叁数t的几何意义得PM==∣t1∣,PN=∣t2∣则PM∙PN=∣t1t2∣=321+sin2α所以，当sin2α=1,即α=π2时，PM∙PN有最小值34，此时α=π29.数形结合法数形结合顾名思义就“数”与“形”的结合，包括“以形助数”和“以数解形”两个方面。数形结合就是根据数学问题的已知条件和结论之间的内在联系，将代数的意义更几何直观的揭示出来，使数量关系精确刻画与空间形式的直观、形象地充分结合在一起，利用这种结合去寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。以“形”助“数”的有：借助数轴、借助函数图像、借助单位圆、借助直线的概念、借助三角形，总之，无论是解析几何、立体几何、函数问题，无法入手时尽量与“形”联系在一起。例：已知acosα+bsinα=c,acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α-β=kπ,k∈Z),求证：cos2α−β2=c2a2+b2证明：在平面直角坐标系中，点A(cosα,sinα)与B（cosβ，sinβ）是直线l∶ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点，如图从而AB2=（cosα−cosβ）2+（sinα−sinβ）2=2−2cos（α−β）。又∵单位圆的圆心到直线l的距离d=∣c∣√a2+b2,由平面几何知识，OA2−(12AB2)=d2即1−2−2cos(α−β)4=d2=c2a2+b2∴cos2α−β2=1+cos(α−β)2=c2a2+b2命题得证。[叁考文献]1.论数学思想方法在高中数学教学，于丹，辽宁师范大学，20142.常见的因式分解法方法探究，宋林，中学教学参考，20153.用配方法解一元二次方法，李晴，中学数学参考，20154.整系数多项式的因式分解，李木，数学通报5.多项式的因式分解方法，张霞，黑龙江科技信息6.浅谈反证法在解题中的应用，童其林，中国数学杂志，20157.学习和研究数学的一些体会，华罗庚，教学通报，20108.《圆的参数方程》教学设计，周应萍9.数形结合思想在中学解题中的应用，胥中胜，亚太教育10.数学归纳法[M]，华罗庚，北京科学出版社，200211.熟能生巧、勤能补拙，华罗庚，中学数理化12.初中数学几何变换思想的教学策略的研究，胡荣萍，201313.基本圆构建简单图形几何变换的研究，刘晓剑、陈勇、田勇、童超越，现代计算机，（专业版），201414.谈数学，华罗庚，中学生数学，200515.数学教师招聘高分题库[通用版]，北京燕山出版社