浅谈数形结合思想在教学中的应用

本科生毕业论文（设计）题目：浅谈数形结合思想在教学中的应用学号：0707140154姓名：汪洋专业：数学与应用数学年级：07级一班系别：数学系完成日期：2010年10月指导教师：河南教育学院本科毕业论文（设计）1浅谈数形结合思想在教学中的应用汪洋（合肥师范学院数学系）摘要数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。数形结合作为一种常见的数学方法,沟通了代数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法,它可以拓宽学生的解题思路,提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。关键词:数形结合思想；直观；数学教学；应用Discussesthenumbershapeunionthoughtshallowlyintheteaching河南教育学院本科毕业论文（设计）2applicationWangyang（DepartmentofMathematics,HefeiNormalUniversity）ABSTRACTCountstheshapeunionisunifyingthequestionstoichiometricrelationandthespaceformtoinspect,accordingtosolvingthequestionneed,wecantransformthestoichiometricrelationquestionforthegraphnaturequestiondiscusses,ortransformthegraphnaturequestionforthestoichiometricrelationquestionstudies,“thenumbershapemakesupforone'sdeficiencybylearningfromothersstrongpointsmutuallyinshort”.Countstheshapeunionasonecommonmathematicalmethod,hascommunicatedthealgebra,thetriangleandthegeometryinnerlink.Ononehand,withtheaidinthegraphnaturemaymakemanyabstractmathematicsconceptsandthestoichiometricrelationvisualizationandsimplification,forthehumanbytheintuitionenlightenment.Ontheotherhand,transformingthegraphquestionasthealgebraquestion,obtainsthepreciseconclusion.Therefore,countstheshapeunionnottotakeoneproblemsolvingmethodmerely,butshouldtakeoneveryimportantmathematicsthinkingmethod,itmayexpandstudents'problemsolvingmentality,sharpenstheirproblemsolvingability,takestheknowledgeittotransformasability“thebridge”.Keywords:Countstheshapeunionthought，Intuitively,Mathematicsteaching,Application目录一、前言…………………………………………3二、正文…………………………………………3河南教育学院本科毕业论文（设计）3（一）解决集合问题………………………………………………………………5（二）解决函数问题………………………………………………………………5（三）解决方程与不等式的问题………………………………………………………………………6（四）解决三角函数问题………………………………………………………………………8（五）解决线性规划问题………………………………………………………………………………9（六）解决数列问题……………………………………………………………………………………10（七）解决解析几何问题………………………………………………………………………………10三、结束语……………………………………………………………………………………………………11前言：数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的，对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。本文就针对数形结合思想在数学教学中的应用简单谈一下自己的看法。正文：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。河南教育学院本科毕业论文（设计）4作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好的起到化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。下面就数形结合思想在集合问题、函数、方程、不等式、线性规划、数列及解析几何中的应用做一个系统的分析。(一)、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例1:已知集合A=[0,4],B=[-2,3],求A∩B。分析:对于这两个有限集合,我们可以将它们在数轴上表示出来,就可以很清楚的知道结果。如图1,由图我们不难得出A∩B=[0,3]。图1(二)、解决函数问题利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例2:对于xR,y取4-x,x+1，21(5-x)三个值的最小值。求y与x的函数关系及最大值。分析：在分析此题时,要引导学生利用数形结合思想,在同一坐标系中,先分别画出y=4-x,y=x+1,y=21(5-x)的图像，如图2。易得:A(1,2)，B(3,1),分段观察函数的最低点，故y与x的函数关系式是:河南教育学院本科毕业论文（设计）5y=xxx4)5(2113)(x3)1(1)1(x图2它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x=1时,y的最大值是2。例3:若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0,求f(x)0的x的范围。解:由偶函数的性质,y=f(x)关于y轴对称,由y=f(x)在(-∞,0)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0,做出图3,由图像可知f(x)0，所以x（-2，2)图3(三)、解决方程与不等式的问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例4:已知关于x的方程22)34(xx=px，有4个不同的实根,求实数p的取值范围。分析:设y=22)34(xx=342xx与y=px这两个函数在同一坐标系内,画出这两个函数的图像,如图4。可知：河南教育学院本科毕业论文（设计）6图4(1)直线y=px与y=-(x2-4x+3),x[1,3]相切时原方程有3个根。(2)y=px与x轴重合时,原方程有两个解,故满足条件的直线y=px应介于这两者之间,由:pxyxxy)34(2得x2+(p-4)x+3=0,再由△=0得,p=4±23,当p=4+23时,x=-3[1,3]舍去,所以实数p的取值范围是0p4-23。例5:若不等式x2-㏒ax0,在（0,21)内恒成立,则a的取值范围是什么?分析:原不等式可化为x2㏒ax，x（0,21)，设y1=x2与y2=㏒ax，在坐标系中作出y1=x2，x（0,21)的图像，如图当x=21时，y1=x2=41，显然,当x（0,21)时，y141就恒成立。①当a1时,在（0,21)上y2=㏒ax图像(如图5)在y1=x2的图像下方,不合题意。图5②当0a1时，y2=㏒ax在（0,21)上的图像（如图6）是减函数。只需y241，河南教育学院本科毕业论文（设计）7就可以使x2㏒ax，x（0,21)恒成立。图6故㏒a2141，㏒21a4，所以a（21）4=161,综上有a∈1,161。把方程不等式转化为函数,利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。(四)、解决三角函数问题有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。例6：设x2p4p，，求证:cscx-cotx2-1分析:由条件联想等腰三角形,不妨构造一个等腰直角三角形ABC,如图7，设∠CDB=x,利用AD+DBAB=2，可得cscx-cotx2-1。图7例7：已知0xy2p，求证:2p+2sinxcosy+2sinycoszsin2x+sin2y+sin2z。证明:如图8,在单位圆中,设∠AOD=x,∠BOD=y,∠COD=z,则A,B,C点的坐标分别为(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz)。图中三个矩形面积分别为2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz),2sinzcosz。河南教育学院本科毕业论文（设计）8显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积，即有2p+2sinxcosy+2sinycoszsin2x+sin2y+sin2z。图8(五)、解决线性规划问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好