浅谈数形结合法的应用

浅谈数形结合法的应用陕西汉中四零五学校侯有岐723312数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，充分利用这种“结合”寻找解题途径，可使问题顺利地得到解决。一、数形结合的两个侧面（一）、以数辅形112:fxgx例、(2006试题调研高考模拟)函数与函数的图象分别如图、所示()yfxgx则函数的图象可能是:(1)(2),,,0,1,,,.yfxygxyfxgxfxgxyfxgx解析由图、可知是偶函数是奇函数为奇函数，排除(B).然后以数辅形,再作定量分析,当x时排除(C)(D).故选A（二）、以形助数2222225519991444142123314122,()1324123234MNxxxyxyyyPMPNPABCD例2、年全国高考题已知两点，、，，给出下列曲线方程：在曲线上存在点满足的所有曲线方程是、、、、,230,1243MPNPPMNllxyll分析:由,知点在的中垂线上不难求出的方程为由图形不难看出与是否存在交点,而与则需经计算确定.:230,1124243MNlxylllll解先求出线段的中垂线方程:比较与直线的系21-1数,=知与平行.42-3画出、圆和双曲线的图形，不难看出与、都相交如右图，而从图形很难判定椭圆与是否有公共点，222223024160,12434033234234..xyyxxxyxxllpMPNPD由消去，得9，即与相切。综上，与、、都有交点，即在、、上存在点满足选二、数形结合在数学中的应用（一）、方程或不等式的问题常可转化为，研究两个函数图象交点或位置关系的问题23(2003)log1.xxx例、年全国高考题使成立的的取值范围是2:00.log()1,,1,0.1,0.xxyxyxx解由得定义域在同一坐标系内作与的图象由图象知的范围是故填（二）、用解析几何中的重要公式（如：斜率、两点间距离公式、定比分点公式等）与定义来谋求数式背景及相关性质120101,()fxxxx例4、(2006试题调研高考模拟)的图象如图示，若则121212121212=fxfxfxfxABxxxxfxfxCDxx、、、、以上都不正确1211221212OAOB12ABkk,(A).fxfxxfxxfxxxfxfxxx解析：和可视为曲线上的两点，与，与原点连线的斜率，由图可知即故选（三）、利用函数的图象及性质谋求数形结合的背景221212125(2005)2logcos2()()01()22()0()1()2()3xyyxyxyxxxfxfxxxfABCD例、年湖北高考题在，，，这四个函数中，当时，使恒成立的函数个数解析:分别作示意图如下:12111222121212121212122(,()),(,()),2()()22()(),22logxxPxfxPxfxfxxxxfxfxPPxxfxfxfPPy在曲线上任取两点　　则是与的平均数对应在曲线上的点的纵坐标的值,为　　连线中间的点对应的纵坐标的值。若要恒成立则曲线的弦　　应恒在对应弧的下方。观察图象，只有2121212log()()0122xyxxxfxfxxxf的弦恒在对应弧的下方。因此，只有在时，恒有恒成立,故选(B)。(2005)023sin2()23sin()23sin()23sin()xxxAxxBxxCxxDx例6、年湖北高考题若,则与的大小关系()与的取值有关:2,3sin(0,),23sin2yxyxxx解析观察函数在内的图象可知与的大小关系与x的取值有关,故选(D)。注:本题涉及的知识点有比较大小,可以利用导数的方法,即导函数大于0,原函数为增函数,导函数小于0,原函数为减函数,也可以利用特殊值法处理,但利用数形结合法求解,直观明了,问题可较快得到解决。（四）、利用数形结合定量分析，解决立几背景下的解几的轨迹问题这类问题一般采用数形结合作定量分析，然后根据轨迹的定义解答。步骤为:确定平面,转化条件(将空间限制条件转化为平面内的限制条件),确定轨迹。71015,20,ABCD例、(2006试题调研高考模拟)竖立在地面上的两根旗杆的高分别为米和米相距米则地面上到两根旗杆顶点的仰角相等的点p的轨迹是()圆　　　椭圆　　　双曲线　　　抛物线解析：要求动点P的轨迹,由于P点在地面上,因而只要将动点P所受的空间限制条件转化为动点P在地面上的限制条件,再由相关知识即可求出。,,2,3,.BDPBppAAC如图由题意得,APPA所以PB即点到两个定点的距离之比为常数k,易知点的轨迹是圆故选（）注：本题是近两年出现的创新题，其“新”在将解析几何与立体几何有机地结合在一起考查，这种问题一般解法是把空间问题化归为平面问题来解决。111111118(2004),,,ABCDABCDPBBCCPBCCDPABCD例、年高考北京题如图在正方体中是侧面内一点若到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹所在曲线是()直线　　圆　　　双曲线　　　抛物线1111:,,PPBBCCPPBBCC分析要求动点的轨迹所在的曲线由于在平面内因而只要将动点所受的空间限制条件转化为动点在平面内的限制条件,再结合圆锥曲线的相关知识即可求出.111111111111111:,,,,,.CPABCDABCDCPCDCPPCDBBCCPCBCPCBCD解连结因为是正方体所以故即为到的距离.在平面内到的距离与到直线的距离相等,所以点的轨迹是以为焦点为准线的抛物线.故选（五）、运用数形结合法解决三角问题有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般先将函数化成基本三角函数的形式，借助于单位圆或三角函数的图象来处理，数形结合是处理三角有关问题的重要方法。91999sintancot,()22,,00,,244442ABCD例、年全国高考题若＞＞　则,04sintancotsin0,tan0,cot0sintancot,sintancot(B).MPATBS解:画出单位圆和三角函数线(如图),当时,故选:注意三角函数线的方向性,否则易将符号搞错,用三角函数线研究三角函数的大小,范围问题,十分直观.（六）、利用数形结合解决一些小型综合题。2102004200,1,21,2,.1xaxbba例、河南模拟实系数一元二次方程的一根在上另一根在上求的取值范围22:200,11,220,10001,2102102020xaxbyfxxaxbxfbfababf解由的两根分别在与上的几何意义为与轴的两交点的横坐标分别在区间、内，;,aobABC在坐标平面内上面不等式表示的点集为的内部,如图示,2103,1;2002,0;2001,0;210abAAabbBBabbCCab点由解得点由解得点由解得2121120212,1,,1.13411141ADCDADCDbabbkkkkaa而的几何意义是点a,b与点D1,2连线的斜率.由图知说明：本题是二次方程根的分布，线性规划等的小型综合题，本题解法中两次用到数形结合，一是研究方程根的分布，利用了二次函数的图象，二是在研究21ba的取值范围时，据其几何意义为斜率，列出不等式。论文：浅谈数形结合法的应用四零五学校侯有岐任娟