浅谈数形结合思想在解题中的运用

1浅谈数形结合思想在解题中的运用王克卓数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，且数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。显然数形结合，不是两者简单的堆砌，而是有机的结合，“数”具有精确性定特征，它可以阐明“形”的某些属性，并且可以通过运算法则、公式进行运算，比较具体（虽然有时却比较繁复），“形”具有几何的直观性，它也可以表示数之间的某些关系，“形”可以通过逻辑推理得到一些结果，其推理过程较简捷（但可能有时比较抽象）。但两者结合，各取所长，则往往威力巨大，因此华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一,高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。一、利用数形结合解决集合问题对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。这就是数形结2合思想的应用，显然准确地将集合问题转化为图形关系是关键。解题时常借助韦恩图或用数轴、简单函数的图像等形来集合问题，往往可以把问题中的条件直观化、形象化，从而使原题灵活、简捷、准确地获解。例1若I为全集，,MNI，且MNN，则下列结论中正确的是。①IICMCN；②IMCN；③IICMCN；④IMCN（提示：由韦恩图可以很容易知道答案为③。）二、函数中的数形结合函数是贯穿高中数学知识的主要内容，它的地位和作用非常重要，数形结合思想在解决函数问题时尤为重要。函数的图像是表示函数关系的方式之一，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的图像来解决代数问题，有利于培养学生的转化联想能力、观察能力，如利用某些函数表达式所具有的特征，与几何中的距离、直线的斜率、线段的长度（两点间的距离）等联系在一起，构造几何模型解决问题，培养学生思维的深刻性并提高创造性。例2设函数1121(),02(),0xxfxxx，若0()1fx，则0x的取值范围是。分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力。3图1解：如图1，在同一坐标系中，作出函数()yfx的图像和直线1y，它们相交于(1,1)和(1,1)两点。由()1fx，得1x或1x。例3方程lgsinxx解的个数为。分析：画出函数lgyx与sinyx的图像（如图2）。注意两个图像的相对位置关系。图2（答案：3个。）显然，通过上两题看出，函数的解析式和图像的实质是相同的，在解题时经常要相互转化，尤其是解决较为繁琐的（如方程解的个数、分类讨论、求参数的范围等）问题时，更要充分发挥图像的直观作用，把代数问题转化为几何问题，实现数形转换。但转换时，要注意方式、方法，如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y=f（x）和y=g（x）的图像的交点个数问题；不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图像位于函数y=g（x）的图像上方的那部分点的横坐标的集合。三、利用数形结合解决数列问题数列可看成以n为自变量的函数，等差数列可看成自然数n的“一次函数”，前n项和可看成n的无常数项的“二次函数”，等比数列可看成自然数n的“指数函数”，在解决数列问题时可借助相应的函数图像来解决。例4若数列na为等差数列，,pqaqap，求pqa。如图3，4图3分析：不妨设pq，由于等差数列中，na关于n的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(,),(,),(,)pqqppqm共线，设pqam，由已知，得三点(,),(,),(,)qppqpaqapqa共线。则ABBCkk，即pqmpqppqq，得0m，即0pqa。四、不等式与解析几何中的数形结合在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。例5曲线22(02)yxxx与直线(2)2ykx有两个交点时，实数k的取值范围是。分析：曲线22(02)yxxx的图形是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分。直线(2)2ykx是过定点(2,2)P、斜率为k的直线。在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线l介于直线12,ll之间（包括2l，不包括1l），其中1l与半圆相切，2l过原点。通过计算容易求得2l的斜率为1，1l的斜率为34。所以314k。5图4例6如果实数,xy满足等式22(2)3xy，那么xy的最大值是。图5分析：等式22(2)3xy有明显的几何意义，它表示以(2,0)为圆心，3r为半径的圆（如图5）。而00yyxx则表示圆上的点(,)xy与坐标原点(0,0)的连线的斜率。如此以来，该问题6可转化为如下几何问题：动点A在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值。由图5可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan603。五、求极值问题中的数形结合许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解。例7直线ya与函数3()3fxxx的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围为。分析：函数3()3fxxx的导数为2()33fxx。令()0fx，解得1x或1x；令()0fx，解得11x；则函数()fx在(1,)上单调递增，在(,1)上单调递增。在(1,1)上单调递减。由此画出()fx的草图（图6）。图6由图形看出22a。六、数形结合在复数中的应用复数的几何意义包括两方面内容：一是与复平面上的点一一对应，二是与复平面上从原点出发的向量一一对应，这使得复数可以从解析几何的角度来审视，可借助数与形的互化来解题。7例8已知zC，且12z，求1z的取值范围。分析：利用复数在复平面上所对应的图形及其几何意义解决此类问题。图7解：12z在复平面上对应的图形为以原点为圆心，以12为半径的圆周及圆内部，1z表示在复平面上z对应的点与-1对应点间的距离。由图7，1z最大值为32AC，1z最小值为12AB。故131[,]22z。应用数形结合解题时要注意以下两点：其一数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题必须是等价的；其二，利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是偏面的。教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师讲题时，8要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。