浅谈新课程背景下立几教学的若干提升之策

1浅谈新课程背景下立几教学的若干提升之策湖州中学李蓉[摘要]：新一轮课程改革的号角已经吹响，与原《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，新的课程标准对立体几何的几何定位、处理手段和设计方式等方面作了部分调整，本文主要探寻了在此背景下对立几教学的若干提升之策。[关键词]：新课标立几教学提升自古希腊欧几里德以来，“演绎几何”便一直是数学王国里一颗璀璨的明珠，闪耀着理性的光芒。诚然，理性思维始终是中学教材体系和中学数学教师研究领域中的重要视角，但在多年未变的情况下，再经典的东西也会变得乏陈难述。好在新的课程标准应时之需对“立体几何初步”的几何定位、处理手段和设计方式等方面作了部分调整。这样的背景为立几教学的提升提供了一定的空间。那么，作为即将实施新课程主阵地的课堂教学，可以采取些什么提升策略呢？一、在整体感知中提升认识按照从具体到抽象、从整体到局部的方式展开立体几何的内容，是新课程标准“立体几何初步”处理手段的显著特征。因此，教学中就要更加借助于丰富的实物模型或运用计算机软件所呈现的空间几何模型，通过对这些空间几何体的整体观察，帮助学生感知其结构特征。在此基础上，使他们理解和体会空间的点、线、面之间的位置关系，并了解一些可以作为推理依据的定义、公理、定理。其中正方体的重要性将被提升到前所未有的高度，因为通过它几乎可以透视立体几何涉及的所有结构特征。案例1：下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④分析：解这类问题必须掌握平面图形与空间图形的对应性，必须要将依附于各个面的线进行回归，然后在正方体中根据结构特征进行判断。容易知道，应该选C。由此可见，在平时的教学中应让学生多动手制作模型，多用眼观察辨认，让他们从整体感知空间几何体的结构特征。所以，整体感知是立几教学提升知识之策。二、在合情推理中提升能力合情推理和演绎推理的结合，也是新课程标准“立体几何初步”几何定位的重要特征。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。数学结论的正确性必须通过演绎推理和逻辑证明来保证，但前提是结论正确，所以在教学中要充分发挥合情推理的作用。2案例2：（2000年全国文科）如图，已知平行六面体1111DCBAABCD的底面ABCD是菱形，且CBC1=BCD=60。（I）证明：BDCC1；（II）当1CCCD的值为多少时，能使CA1平面BDC1？请给出证明。分析：（I）在已知CBC1=BCD的条件下，可根据课本习题合情推理，CC1在底面上的射影一定在BCD的平分线上，即在CA上，进而可证BDCC1。（II）将平行六面体进化为正方体是一种特殊化的合情推理，而在正方体中BDCAC11平面成立，故可猜测1CCCD=1，进而予以证明。在这个案例中，题设与结论之间没有一条直达的快捷通道，但如果在教学中教师能够经常引导学生“从最简单开始”，并以此为出发点和立足点，大胆地猜想和推理，问题不难解决。可见，合情推理不仅为学生创造性思维的发挥提供了机会，而且还提高了他们的逻辑思维能力和推理论证能力。可见，合情推理是立几教学提升能力之策。三、在向量观中提升智慧空间向量的引入，给立体几何注入了新鲜“血液”，使立几问题的解法得以拓展和丰富。在必修课程中，主要通过直观感知、操作确认，获得并推导和论证一些几何图形的性质，而进一步的论证和度量则放在选修系列2中用向量处理的。这是新课程标准“立体几何初步”设计方式的主要特征。案例3：（05年，全国卷）如图,四棱锥ABCDP中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,PDAD,FE、分别为PBCD、的中点.(Ⅰ)求证:EF面PAB(Ⅱ)设BCAB2,求AC与面AEF所成的角的大小.分析：本题是一题两法，选择几何法还是向量法体现了一定的数学机智。对(Ⅰ)，用传统的方法要证EF面PAB，需要在平面PAB内找出两条相交直线与EF垂直，一是教难找，二是较难证垂直。但是利用空间向量，绕过这些难关，利用代数的方法求向量的数量积即可证得，大大减少了思维量。而对于(Ⅱ)，用传统的方法，在限定时间内，很难找到AC与面AEF所成的角，而利用平面法向量解题，可避开一切麻烦，只要找到平面法向量n，利用向量的代数运算和有关公式即可简便解决此题。略证：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，设1PDAD，02aaAB，则321,21,,1,0,0,0,1,2,0,1,0,0,0,2,0,0,aFPaBAaCaE于是0,0,2,1,1,2,21,21,0aABaPBEF，计算得0ABEF，即ABEF，同理PBEF所以，EF面PAB(Ⅱ)由BCAB2，得22a，求得平面AEF的平面法向量1,1,2n，设AC与面AEF所成的角为，则63,cossinACn，即AC与面AEF所成的角为63arcsin。向量法是将几何问题代数化，用代数的方法研究和解决几何的问题。由于向量法是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑转化为数值计算，因此用向量解题有时不仅不会增加解题的难度，相反在一定程度上还会降低思维的强度，增强可操作性。这对于丰富学生的思维结构，消除学生由于学习立体几何而产生的心理压力，培养学生从多角度、多方位思考和探索问题的能力，无疑有着非常重要的意义。因此，注重用向量的观点来对照，注重几何法和向量法的辨析是立几教学提升智慧之策。四、在建模过程中提升素养新课程标准关于“立体几何初步”的框架十分注重空间知识产生的背景以及运用几何的思想、方法来解决问题的过程，力图使学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，从而激发学生学习数学的兴趣，增强学生的应用意识，发展学生的创新精神和实践能力。同样，实际应用过程也可用框图体现：情景问题建模解模检验合乎实际结论案例4：（01年全国卷）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：（1）单向倾斜；（2）双向倾斜；（3）四向倾斜。记三种盖法屋顶面积分别是321PPP、、。若屋顶与水平面所成角都是，则（）（A）123PPP（B）123PPP（C）123PPP（D）123PPP不合实际4分析：从屋顶的情形可以抽象出斜面面积的问题，运用cos斜面射影SS，可知当与射影S均为定值时，射影S也为定值，所以应选（D）。可见建模解模是立几教学提升素养之策。教师应该把数学建模意识贯穿在教学的始终，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。五、在探究体验中提升境界中西方数学教育研究表明：与西方学生相比，中国学生在基础知识、基本技能和常规问题等方面有相当的优势，但在解开放性问题方面等则不如人意。为此，新课程标准“立体几何初步”中还设计了如“欧拉公式的发现”等探究性学习课题，力求通过各种不同形式的自主探究和学习，帮助学生体验发现和创造的历程，养成质疑和反思的习惯，提高分析和解决问题的能力。其中将平面几何中有关命题通过类比推广到空间立体几何中来，是培养学生创造性型思维能力的一种有效途径。案例5：（03年上海卷）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则222BCACAB”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积关系，可以得出的结论是“设三棱锥BCDA的三个侧面ABC、ACD、ADB互相垂直，则。”分析：由于三棱锥BCDA的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，故直角面可以类比于直角三角形的直角边；底面BCD被三个两两垂直的侧面所包围，故可以类比于直角三角形的斜边，从而可以得到猜想：BCDADBACDABCSSSS2222在探究性学习中，学生往往通过自主探索与合作交流来建构个人知识的。因此，教师在教学中，应大胆创设宽松、民主的氛围，最大限度地调动学生探究学习的积极性，尽可能让每个学生都发挥自己的优势，体会到探究的快乐。从而使他们形成积极的情感和进取的人格，并最终养成科学的态度和精神。所以，探究体验是立几教学境界提升之策。六、在文化透视中提升品位新课程标准“立体几何初步”中，也十分注重数学文化的价值。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流，通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美等。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家，最著名的如柏拉图和达·芬奇。晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。因此，教学中有意识地渗透数学文化可以使学生受到感染，产生文化共鸣，体会到数学的文化品位，体察到社会文化和数学文化之间的互动。总之，只5有当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学才会更加平易近人，数学教学才会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。所以，文化透视是立几教学品位提升之策。新课程背景下的立几教学的提升之策决不止以上这些，而且各种策略也是互相融合、交叉的。但“教学永远是一门遗憾的艺术”,任何一堂课，当你课后反思的时候，总会觉得有一些不足和遗憾。而你的教学艺术水平正是在不断解决不足和遗憾的过程中得到了提升。所以，我们教师不能再保守，不能再等待观望，而应尽早走进新课标，学习新理论，相信只要我们不懈的努力，教学艺术水平一定会不断提高。参考文献：1．人民教育出版社：《普通高中数学课程标准》（实验）2.章建跃：《对数学教育改革的一点认识》3.詹国樑：：《论数学精神及其教育价值》