暑期数模集训差分方程与时间序列模型

专题提纲•1差分方程引例•2差分方程概念•3特殊差分方程的解•4平衡点及其稳定性•5差分方程组•6差分方程实例•7自回归模型•8自回归模型识别及参数确定•9自自回归模型实例•10建模练习题1引例某人买房子银行贷款，几年过去了，现在该人每月还款2789.54元，且已知2011年前三个月的本息还款情况如右表，问银行月利率是多少？10年12月份还款后还剩本金多少？自那时起需几月还清贷款？请列出2011年起每月的本息还款明细表。月份本金（元）利息（元）12404.72384.8222416.26373.2832427.86361.682差分方程概念微分方程：变量间存在函数关系。知道了这个关系，就能够研究变量间的联系与变化规律。然而，这个关系是不知道的，但我们可以建立起含自变量，因变量及其导数或微分的等式，这就是微分方程。通过对方程的研究以求得这个函数关系，或直接揭示变量间的联系就构成了微分方程的主要研究内容。然而在许多实际问题中，变量的取值是离散的（如银行还款问题，月份只能取整数值，不能取3.56这样的值），这时为研究变量间的关系所建立的模型也是离散的。此外，对一些连续的数学模型（如微分方程模型），在求其数值解时也需要将其离散化处理，从而将一个连续的模型转化为一个离散的模型，这些模型就属差分方程，应用相应的理论去解决。一般的，对有函数关系的两个变量，常用x当自变量，y当因变量。但在差分方程中，因自变量只取整数值（如0,1,2,3，…），我们更喜欢用n(或t)表示自变量，这时因变量可用x表示。其函数关系是x=x(n)，但我们更常用xn表示。如同微分方程，这个关系通常是不知道的，但我们常能得到如下的式子F(n,xn,xn-1,…,xn-k)=0（1）这个式子就是差分方程。有时，（1）式也写成下面的形式xn=f(n,xn-1,…,xn-k)(2)现考虑银行还贷问题，用n表示月份(n=0表示10年12月)，xn表示第n月还款后还剩本金，r,a分别表示银行月利率和月还款额，xn（即x(n)）表示了本金与月份的函数关系（现在不知），但我们容易得到一个等式xn+1=(1+r)xn-a这就是银行还贷问题的差分方程模型，从中就可以解出关系xn来。差分方程的名称或许是从微分方程的离散化得到的。考虑微分方程假设方程有唯一解，但无法求出，为此，我们可以通过将其离散化求数值解并作图分析，最简单的就是(y(xn+1)-y(xn))/h=f(xn,yn),从而有迭代公式yn+1=yn+hf(xn,yn)。上面的商称为差商，而其分子就叫差分。一般的，对离散关系xt，记Δxt=xt+1-xt,该式称为xt的一阶差分，Δ2xt=Δ(Δxt)=Δxt+1-Δxt=xt+2-2xt+1+xt。该式称为xt的二阶差分，依次类推。00'(,)()yfxyyxy方程F(n,xn,xn-1,…,xn-k)=0中x的最大下标与最小下标之差称为差分方程的阶。如同微分方程一样，差分方程的解是函数，通常有无穷多个。通解是全部解的集合（体现在任意常数上，其个数与方程阶数相同）。另外，在实际问题中通常会给出一些条件（如x0,x1的值），称为初始条件。满足初始条件的具体的解就是特解。差分方程问题的研究内容：1差分方程的建立（取离散值的变量关系建立，也可将连续问题离散化）；2差分方程的求解和分析（这需要掌握一定的差分方程理论）。差分方程在实际问题中有广泛的应用。差分方程的求解并不比微分方程容易，大部分差分方程是无法求解的。这里介绍最简单同时用处很大的一类特殊差分方程的求解。常系数线性齐次差分方程，其一般形式为a0xn+a1xn-1+…+akxn-k=0(3)其中a0,a1,…,ak是常数。方程（3）有解，其求解步骤为:•步骤1:求解对应的特征方程a0λk+a1λk-1+…+ak=0（4）•步骤2:根据步骤1的解的情况写出（3）的通解；3特殊差分方程的解•情况1：若λ是（4）的一个单实根，则λn是（3）的一个特解。若λ1,λ2,…,λk是（4）的k个全部不同的单实根，则（3）的通解为x(n)=C1λ1n+C2λ2n+…+Ckλkn（C1，C2，…，Ck是任意常数）。•情况2：若λ是（4）的k重实根，则λn,nλn,…,nk-1λn都是（3）的特解。•情况3：若λ=αβi是（4）的单重复根，则ρncosnθ与ρnsinnθ都是（3）的特解，其中ρ,θ是λ的模与幅角。•情况4：若λ=αβi是（4）的k重复根，则ρncosnθ,nρncosnθ,…,nk-1ρncosnθ与ρnsinnθ,nρnsinnθ,…,nk-1ρnsinnθ都是（3）的特解，其中ρ,θ是λ的模与幅角。•将各个特解如情况1那样与任意常数相乘再相加就得（3）的通解。常系数线性非齐次差分方程，其一般形式为a0xn+a1xn-1+…+akxn-k=b(n)(5)(5)的求解方法是先求相应齐次方程的通解，记为xn*，再求（5）的一个特解，记为xn(0)（与微分方程中求非齐次方程的特解方法相类似，根据b(n)特点将xn(0)设出，再用待定系数法将xn(0)确定），于是（5）的通解为xn=xn*+xn(0)•此外，不同于微分方程，对实际问题中的差分方程，当初始条件给定后，可迭代求得任意xn的（精确）值，从而可以对xn的变化规律进行作图分析。如对方程xn=f(n,xn-1,…,xn-k)，若x1,x2,…,xk给定，就可以根据方程依次算出xk+1,xk+2,xk+3…来。考虑银行还贷问题，其差分方程为xn+1=(1+r)xn-a，若已知x0，r，a，就可算出第1月，2月，3月等欠银行钱数。现求解方程xn+1=(1+r)xn–a。先求解xn+1=(1+r)xn，其通解为xn*=C(1+r)n,再求其一个特解。从方程看设xn为常数x，代入得xn(0)=a/r,于是得方程通解：xn=C(1+r)n+a/r。利用x0确定C可得相应特解。实际上，方程xn+1=(1+r)xn–a也可用递推法解决:xn=(1+r)xn-1–a=(1+r)((1+r)xn-2–a)–a=(1+r)2xn-2–(1+r)a–a=…=(1+r)nx0–(1+r)(n-1)a–(1+r)(n-2)a-…-a=(1+r)nx0+a(1-(1+r)(n-1))/r=(x0–a/r)(1+r)n+a/r.4平衡点及其稳定性•差分方程虽可用迭代法进行数值计算，但计算总归只能进行有限步，其深层次的性质必须用其它工具进行分析，平衡点就是其中一个。•平衡点相当于稳定点或不动点，对方程xn=f(n,xn-1,…,xn-k)来说就是若xn-1,…,xn-k都取某一常数，比如a，那么xn也一定是a，从而xn+1,xn+2,xn+3,…也都取这个值。•平衡点就是所有xn都取相同的值，且能使差分方程成立，于是将xn=f(n,xn-1,…,xn-k)中所有的xn都换成x，得到方程x=f(n,x,…,x)，将其求解，其每一个解就是一个平衡点。设a是方程的一个平衡点，xn是方程的任一解，若总有则称a是差分方程的一个稳定平衡点。稳定的平衡点在实际问题中有重要的应用价值。limnnxa现考虑方程a0xn+a1xn-1+…+akxn-k=0，并且其解是如下形式x(n)=C1λ1n+C2λ2n+…+Ckλkn。显然0是方程的一个平衡点，不难发现若所有λ的绝对值都小于1，必有这说明0是稳定的平衡点，这也是一般差分方程平衡点稳定性的判别方法。这个方法也可以这么说：若绝对值最大的λ的绝对值小于1，平衡点稳定。不难发现若某个λ的绝对值大于1，平衡点不稳。当λ等于1时，有多种情况且实际意义不大。若特征根是复根，就用其模来判断。lim0nnx一阶非线性差分方程，其一般形式为xn+1=f(xn)若x*是该方程的一个平衡点，将f(xn)在x*处作一阶泰勒展开用线性近似代替，可得x*稳定的条件是|f’(x*)|1。差分方程组（自变量一个，但因变量多个，仅讨论线性）线性差分方程组的一般形式为其中aij和bi(i,j=1,2,…,n)都是常数。1111122112211222221122(1)()()...,()(1)()()...()(1)()()...,()nnnnnnnnnnnxtaxtaxtaxtbxtaxtaxtaxtbxtaxtaxtaxtb5差分方程组令记x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T,b=(b1,b2,…,bn)T.则上述方程可记为x(t+1)=Ax(t)+b。对于该形式，可编程数值计算分析，也可利用线性代数理论（主要是特征值和特征向量）进行分析讨论。若x*（为向量）是该方程的一个平衡点（x*=Ax*+b），则它稳定的条件是A的所有特征值的绝对值都小于1，若某一个的绝对值大于1就不稳。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa6差分方程实例•1银行还贷问题设yn表示第n月还的利息钱(n=1,2,3,…)，则有y1=rx0,y2=rx1=r((1+r)x0-a)，从中可解出x0(=80171)和r(=0.0048)。设N个月后可还清全部贷款，则xN=0。由xn=(x0–a/r)(1+r)n+a/r可解出N。2有一种病毒，曾经在某地区肆虐。为研究方便，做如下假设：有一个病毒侵入了某人的肌体。在常温下，这种病毒1小时就繁殖1倍。人体的免疫系统能杀死这种病毒，但它们隐藏在正常的人体细胞中，不到一定的数量不能发现。当免疫系统发现病毒后，首先是升高体温，这能使病毒的繁殖速率减小为50%每小时，同时能杀死200000个病毒。问免疫系统在什么情况下起作用就能控制住病毒?如果当病毒有1000000个时免疫系统才起作用，则不能控制病毒，需要服药和打针，这些措施不能减少病毒的繁殖速率，但能杀死更多的病毒：每小时500000000个。如果发烧后病人认为自己仅是得了重感冒或流感而不去医院治疗，那么在多长时间后即使到医院治疗也无法挽救其生命？解答：先考虑病毒刚侵入人体的阶段，用t表示时间（单位小时，且只取0,1,2,…这些值），xt表示t时刻人体内的病毒数，则有这个差分方程的解是xt=2t。再考虑免疫系统开始起作用到打针吃药的阶段，为方便病毒单位用百万，起作用时病毒数有x0个。则有xt+1=1.5xt-0.2，初值是x0。我们自然可以将方程解出（xt=(x0-0.4)1.5t+0.4,过程略去），但对于所回答问题，需要平衡点理论。容易得到方程平衡点为x=0.4，且这是个不稳定平衡点（为什么?）：当x00.4时人体内病毒会越来越多，而当x00.4时免疫系统就能逐渐的将病毒清理干净。需要服药治疗情况自己分析解答。1021ttxxx3蛛网模型在商品社会中，生产者愿意生产的商品数量由价格决定，社会对商品的需求量也由价格决定，当生产者愿意生产的商品数量与需求量相等时是最好的，此时的价格称为均衡价格。当价高时生产者愿意生产，但消费者不愿意进行消费，价低则相反。一些商品的生产是有周期的（如西瓜），而生产者生产的商品数量往往由前面的价格决定，这样当因为意外原因（如天灾）使得商品数量偏离预期时，商品价格就波动起来，形成了蛛网模型（看姜启源的建模书）。我们希望这个波动会逐渐趋于稳定，若不稳定需要人工干预使之稳定。现在来分析这个问题。蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系)(kkxfy生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0)(1kkyhx)(1kkxgy)(kkxfy)(1kkyhx在P0点附近用直线近似曲线)0()(00xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk1P0稳定P0不稳定0xxkkx)/1()/1(1方程