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2010-12教研论坛Bstyle='color:black;background-color:#ffff66'浅谈/B正交矩阵的求法管茂年1.引言kξ，k，k取遍数域P中不含零的全部数T′T2212（3）再通过合同变换（）求得正交矩阵是线性代数中的核心内容，而正对，再用特征向量值代入，得到T111矩阵U.交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换4x-2x-2x011123111111111111-1-1111它的基础解系是-2x+4x-2x01理论中起着十分重要的作用.正交矩阵不仅11231111111111111111-11-11-2x-2x+4x0111在线性代数中，而且在理工各学科领域的112311例2.设A，则f（x）11A1-1111-1数学方法中，如优化理论、计算方法、信息因此，属于5的一个线性无关的特征111111111111分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两向量就是ξε+ε+ε1131233种正交矩阵的求法：第一种是用施密特正即方程（αE-A）X0的一个基础解系xE-A（x-2）（x+2），通过解相应的齐次i111111111-1111交化求一个正交矩阵，说明了具体的解题1111011-1111111111111步骤，并举例说明；第二种是利用合同变换101111111100111111是：α，α，α1（1）1231111111111线性方程组求得T1111111111求一个正交矩阵，对其中用的重要定理、引1111111010111111-1-11111111理进行了证明，说明了这种方法的具体求1001-11对（1）施用施密特特征正交化得：1111解过程，并举例说明.βα（1，0，-1）121111111定义1.1n阶实矩阵A，若满足A′AE，（α，β）11121βα-21β（-，1，-）（2）-111221使得TAT此时，（β，β）2211则称A为正交矩阵.111211111（α，β）（α，β）112.用施密特正交化方法求正交矩阵βα-31β-32β（1，1，1）121331211（β，β）（β，β）1122关于化实对称矩阵A为对角形的讨11-101121111111111论，大部分教科书中，都采用施密特正交化11112-1011姨211111T′T，11的方法求出正交矩阵T，按常规是分三步111111-1-120111111把（2）单位化得：η，110111进行：11100041111111（1）求λE-A的全部不同的特征根λ，11111111-121-101111111λ，…，λ它们都是A的特征根.1姨211121112-10111111111111111（2）对每个特征根λ，解齐次线性方程-11111111111000411姨611姨3111组（αE-A）X0，求出它的一个基础解系：111111i1111T′T1-111-111111于是（）11α，α，…，α（1），对（1）施用施密特正交化121111T11i1i2iki111111η，η1100112113111姨611姨3111得：β，β，…，β（2），再把（2）单位化，得：111111i1i2iki1111101011111111η，η，…，η（3）11111111i1i2iki1111111001-11-111111（3）以η，η，…，η为列向量的矩阵T1姨611姨31i1i2iki111111120001则所求的正交矩阵T为11就是所求的正交矩阵.11131111111-1122111111001111-11221111111例1.设矩阵A11，求一个1姨2姨6姨31112121111113111111-1111001111122111111211221111T0.1111正交矩阵T，使得T′AT成为对角矩阵.1姨6姨311000111111111121111解：λE-A（λ+1）（λ-5）特征值是-1111111-1-11411111--122111（二重）和51姨2姨6姨311111111111把特征值-1代入齐次方程组11-113.利用合同变换求正交矩阵1112211（λ-1）x-2x-2x0111123引理：设A是n×r实矩阵，若秩Ar，则111101011111111-2x+（λ-1）x-2x01123存在可逆矩阵P，使P′A′APE.111111111001-11-2x-2x+（λ-1）x01123定理A是n阶实对称矩阵，如果T是111-1120001-2x-2x-2x0111123实可逆矩阵，使TAT是对角形矩阵，则存1111131得到111-2x-2x-2x01123在可逆矩阵R，使UTR是正交矩阵，而且100011121111-2x-2x-2x01123U′AU是对角形矩阵.14110001111111011311111施密特正交化方法求U，计算较烦.以111111111011111000411111它的基础解系是，上这种方法不必借助欧氏空间的某些概念111111111111111111111111-1-1与性质.它的求解步骤为：1-11-1111231因此，属于-1的两个线性无关的特征向（1）求λE-A的全部不同的特征根λ，11111111量就是：ξε-ε，ξε-ε10111113223λ，…，λ，它们都是A的特征根.11211311111而属于-1的全部特征向量就是kξ+1111（2）通过求相应的齐次线性方程组得T.001-1-21-教研论坛2010-12U，即U参考文献：00010100姨1111〔1〕杨子胥.高等代数〔M〕.北京：高等教姨-姨-姨262320010姨姨姨姨姨育出版社，1990.姨姨0000姨1111姨-姨〔2〕同济大学数学教研室.线性代数（第姨262姨32姨姨姨1111姨--姨2姨211二版）〔M〕.北京：高等教育出版社，1991.姨2姨62姨3姨0姨，姨2姨姨62姨31，111姨〔3〕丘维声.高等代数讲义〔M〕.北京：北-姨112姨-姨2姨62姨3姨00姨22姨3京大学出版社，1983.211062姨32姨2〔4〕江佑民.分块矩阵的初等变换和合姨姨姨姨211姨使得U′AU.00-姨同变换〔J〕.曲阜师范max.book118.com.2姨2姨3姨2姨姨姨作者单位：江苏省建湖县职教中心最后一个矩阵的后4行作成正交矩阵-2关注学生发展，打造充满活力的语文课堂刁品龙《语文课程标准》指出：“学生是语文学一说、画一画、演一演等多种形式的语文实中不停地激烈撞击，激发学生的想象力。习的主人，是学习和发展的主体，语文课程践，提高能力。一位特级教师在教学《庐山如一位教师在教学《草原的早晨》时：应致力于学生语文素养的形成和发展。”语的云雾》第二自然段中，先让学生默读，明师：小朋友都读得很流利，老师也想来文教学实质是对人的培养和塑造的教学，白这段采用先总后分的方法描写了庐山云读一读。在老师读的时候，小朋友可以闭上其目的就是要把学生培养成为具有鲜明个雾的“千姿百态”的特点。然后，引导学生抓眼睛，一边听老师读课文，一边想象：你好性、完善品格的人。为此，在课堂教学中要住“就像是戴在山顶上的白色绒帽”“又像像看到了草原上的什么？（配上悠扬的音充分体现学生的主体地位，亲近学生，主动是系在山腰间的一条条玉带”“茫茫的大乐，深情地朗读，生闭上眼睛欣赏。）密切地“关注”学生，以学生发展为本，去建海”“巨大的天幕”等语句，边读边想象，入生：我好像看到草原上羊儿在跑。构新型的课堂，给语文课堂注入新的活力，情入境，庐山云雾的“千姿百态”；在有所领生：我好像看见牧羊人在唱歌。努力打造充满活力的小学语文课堂。悟的基础上，引导学生通过声情并茂的朗（老师一边以鼓励的眼光看着学生说，一、注重个性发展，激发学生的学习读，深入体悟庐山云雾的形态美，体味课文一边点头微笑。学生受到赞赏就说得更有动力的评议美。同时，引导学生在读中揣摩课文劲了。）《语文课程标准》指出：“阅读是学生的是怎样具体形象写出云雾的特点的。发动生：我好像自己也来到了大草原……个性化行为，不应以教师的分析来代替学学生用自己喜欢的方式朗读，然后小组互师：小朋友们的想象真丰富。那么真正生的阅读实践。应让学生在积极主动的思动交流，教师以“平等首席”的角色参与小的大草原是不是和我们想象的画面一样美维和情感活动中，加深理解和体验，有所感组活动。同学们的积极性可高了：他们有的丽呢？（多媒体呈现草原风光图片。）（画面悟和思考，受到情感熏陶，获得思想启迪，用逼真有趣的动作（笼罩、戴等）栩栩如生上风景优美，牛羊成群，牧羊人歌声缭绕，享受审美乐趣。”因此，我们必须正视课堂地表演云雾的姿态；有的用简单明了的简笔学生看了纷纷赞叹不已。）教学现实，从问题设计入手，关注学生的发画把“庐山云雾的姿势”勾画得惟妙惟肖；有师：小朋友你觉得草原怎样啊？展，激发学习动力、活力。的用抑扬顿挫的语调把庐山云雾其他的姿生：草原真大啊！教学过程中，老师要不断用热情的语势表达得活灵活现……由于学生的形象思师：你说得真准。确实中，草原很大，老言予以激励性评价，或用激情昂扬的评议维占优势，让他们通过画画、演演、读读来师要把这个“大”字写在黑板上。（学生深受引导学生自主读书，或用幽默生动的评议体会课文中的评议，进入课文所描述的情成功的乐趣，热情高涨，争着举手说。）引发学生浮想翩翩……学生始终主宰着课境，使人如临其境，如见其形，课堂上时而生；我想送给草原一个字，那就是“美”！堂，学到了知识，发展了能力，张扬了个性。书声琅琅，时而情意浓浓，里面静如止水。师：你说得真精彩，老师要用彩色粉笔这种“教育生态环境”的营造，使学生表现三、体验成功快乐，激发学生的想象力把这个“美”字写出来……自我，彰显个性，于无声处解决了学生学习一位哲学家曾经讲过这样一句话：“想学生们开心地笔了，课堂上顿时激情燃动力不足的难题。象对于孩子，比拥有万贯家产更加重要。”烧，活力四射。本片段中，在充分感知的基二、强化语文实践，提高学生的学习想象力比知识更重要。没有大胆的想象，就础上，学生充分发挥主观能动性，用准确的能力不会有伟大的发现，想象是创新的前奏，诱语言表达自己的感受。教师慧眼独具，爱如《语文课程标准》指出：语文是实践性导学生大胆想象，培养学生的创新能力，有泉涌，及时赞扬学生的心得―――发言时准确很强的课程，应着重培养学生的语文实践着极其深远的意义。教学中，让学生充分展优美的语言，并把词语一一写在黑板上，书能力，而培养这种能力的主要途径也应是示学习成果，放大内心的成就感，增强自信写时还配上了简洁而又富有激励性的话语。语文实践。心、自尊和自我欣赏力，产生征服欲，强化其他学生感同身受，备受鼓舞，参与、竞争我认为，我们在教学过程中，应该把握前进的战斗力、牵引力，最大限度地开掘和和互动的热情陡增，进一步激发了课堂活力。语文教育的特点，引导学生通过读一读、说发挥自身潜力，使学生的思维火花在课堂作者单位：江苏省宝应县城南小学-22-divid=loadingADdivclass=ad_boxdivclass=waitingstrong文档加载中.../strong广告还剩emid=adtime/em秒