浅谈测量误差传播及在工程中的应用

一、测量误差的基本知识(一)什么是测量误差前面已经讲述过，在任何测量中，由于各种原因，测量值与真实值之间总是存在着差异，测量值ix与真实值0x之差就称为测量误差xx=ix—0x误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程的始终。每使用一种仪器，进行一次测量，都会引进误差。测量所根据的方法和理论越繁多，所用的仪器装置越复杂，所经历的时间越长，引进误差的机会和可能就越多。弄得不好，就不一定能达到提高测量精确度的目的。(二)误差的性质和来源、系统误差和偶然误差误差根据其性质分为两类：系统误差和偶然误差。1．系统误差系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。它的来源有以下几方面：(1)仪器误差。这是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。例如，仪器零点不准，放大器的非线性，照相底板的收缩，在20℃下标定的标准电阻30℃下使用等，产生的误差都属于仪器误差。(2)理论(方法)误差。这是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法所带来的误差。例如，理论公式中没有把散热考虑在内，没有把接线电阻和接触电阻考虑在内；摆的周期公式：T=2πgl的成立条件是摆角趋于零，这在实际上是达不到的；用伏安法测电阻时电表内阻的影响等，都属于理论（方法）产生的误差。(3)个人误差。这是由于观测者本人生理或心理特点造成的。例如，用停表计时，有人常失之过长，有人常失之过短。系统误差有些是定值的，例如，游标卡尺的零点不准；有些是积累性的，例如，用受热膨胀的钢质米尺进行测量，其指示值就小于真实长度，误差值随待测长度成比例增加；还有些是周期性变化的，例如，仪器的转动中心读数与刻度盘的几何中心不重合造成的偏心差就是一种周期性变化的系统误差。如图1—5—1所示，停表秒针的转轴O与表盘中心O不重合，秒针转过41圈时指14.8秒，转过半圈时指30.0秒。显然，秒针在不同位置时系统误差数值不同，它是周期性变化的，但对于指针的一定位置，它是定值的；还有些系统误差是按其他一些特定的规律变化的。系统误差总是使测量结果偏向一边，即或者偏大，或者偏小。因此，多次测量求平均值并不能消除系统误差。对于不同学科领域、不同类型仪器、不同测量方法，往往有某些共同性的系统误差。例如，热学实验中常见的有温度计的误差、测温没有达到热平衡及散热的误差，金属量具的残图1—5—1余应力误差，电子仪表的零点漂移和非线性误差等，都属于个人误差。找到了某个系统误差产生的原因，就可以采取一定的方法去消除它的影响或对测量结果进行修正。2．偶然误差在测量时，即使排除了产生系统误差的因素（实际上不可能也不必要绝对排除），进行了精心的观测，仍将存在一定的误差。这种误差是由于人的感官灵敏程度和仪器精密程度有限，周围环境的干扰以及随测量而来的其他不可预测的偶然因素造成的。例如，用米尺测量一组振幅，每次判断振幅大小以及用米尺去对准它，并估计毫米以下的一位读数值，都有一定的偶然性，都会带来误差。又如，测量时温度的微小起伏，气流的扰动等会造成测量结果的无序变化。不规则的地脉动和杂散电磁场会影响精密测量等等。这些由于偶然的或不确定的因素所造成的每一次测量值的无规则的涨落，称为偶然误差，也叫随机误差。偶然误差的存在使每次测量值偏大或偏小是不定的，但它服从一定的统计规律。常见的一种是比真值大或比真值小的测量值出现的概率相等，而且误差较小的数据比误差较大的数据出现的概率大；同时，绝对值很大的误差出现的概率趋于零。因此，增加测量次数，可以减小偶然误差。这就是我们在实际工作中常常采取重复多次测量的依据。但是，偶然误差是不能消除的。根据偶然误差的性质，有多种处理偶然误差的理论和方法。总之，系统误差与偶然误差性质不同，来源不同，处理方法也不同。测量精密度高，是指偶然误差小；测量准确度高，是指系统误差小；而精确度是把两者都包括进去了。影响测量结果的精确度的，有时主要因素是偶然误差，有时主要因素是系统误差，对于每项具体工作需要进行具体分析。测量结果的总误差是系统误差和偶然误差的总合。有时候，系统误差与偶然误差是加以区别、分别处理的。在精密测量时尤其如此。有时候，只为了说明总误差的限度，就不加以区别，许多不太精密的仪器的最大允许误差(如电表的精度级别)就是既包括系统误差又包括偶然误差。有时候，也难于划分或区别它们。某些情况，例如，刻度尺的刻度的不均匀性，球不圆等都属于这种情况。对于尺上或球上的某个确定的位置，它与准确值或平均值的偏差是确定的；但是对于各处来说，又有随机性，对这类测量对象的不确定性以及一些有抵消性的误差，可以当作偶然误差来处理，以多次测量表示其结果及计算误差。至于因仪器损坏、设计错误、操作不当等而造成的测量错误，不是测量误差。二，测量误差结果为了描述测量结果的误差，根据国家计量技术规范，应采用以下的术语。（一）精密度表示测量结果中随机误差大小的程度，即在规定条件下，对被测量进行多次测量，所得结果之间的符合程度。精密度又可简称为精度。（二）正确度表示测量结果中系统误差大小的程度。它指的是在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综合反映。（三）准确度表示测量结果与被测量真实值之间的一致程度。它指的是测量结果中系统误差与随机误差的综合反映。准确度亦称精确度。以打靶为例，可形象理解上述三个概念之间的关系，如图1一5—2所示。图1—5—2(a)的弹着点都向一侧偏离靶心，但比较集中，这反映了随机误差较小而系统误差较大的情况，即精密度高而正确度低。图1—5—2(b)的弹着点比较分散，但平均值比较接近靶心，这反映了随机误差较大而系统误差较小的情况，即正确度高而精密度低。图1—5—2（c）的弹着点比较集中，又都聚集在靶心附近，这反映了系统误差和随机误差都比较小的情况，即准确度高。三、不确定度对被测量量的测量过程中，测量误差是普遍存在的，测量结果中包含有多种误差因素，如器具误差、人员误差、环境误差、方法误差、调整误差、观测误差、读数误差等等。还要考虑到在很多情况下，人们对于各种误差的信息不能全面了解和掌握，特别是在那些多次重复测量中，不能充分反映出来的随机误差因素和未定系统误差。所有这些因素使得测量结果具有一定程度的不确定性。为了对测量结果不确定程度进行定量的估计，需要引入一个新的概念——不确定度。不确定度是表征被测量的真实值在某个量值范围的估计值。它表示真实值在多大的可能性上处于某个范围之内。测量不确定度应该这样来估计：在修正了可定系统误差以后，把剩下的所有误差分成两类，可以用统计方法计算的A类分量ΔA和用其它方法计算的B类分量ΔB，然后，将两类分量按方和根的方法进行合成。合成不确定度可表示为Δ=22BA需要指出的是，A类分量和B类分量不一定与通常讲的随机误差和系统误差存在简单的对应关系。有关不确定度的计算与合成，还有许多问题需要深入讨论，有些问题还有争议，因此，现在仍用传统的误差概念来表示测量结果的不确定程度。系统误差的特点和处理方法前面已有讨论，以下仅讨论随机误差的处理方法和测量结果的表示方法。四、直接测量的误差（一）仪器误差直接测量值是用仪器直接得到的测量结果，因此进行直接测量时·，首先要考虑仪器的误差。仪器误差是指在正确使用仪器的条件下，测量值和被测量的真值之间可能产生的最大误差。它是测量结果中系统误差和随机误差的综合反映。实际测量的误差总是小于或等于它，不会超过它，并且符号是不确定的。仪器误差一般根据生产厂家仪器说明书所规定的示值误差或准确度等级来确定。例如，50分度的游标卡尺，测量范围在0～300mm内，其示值误差为土0.02mm；150mA量程的0.5级电流表的允许误差限为0.75mA，它也是各示值的仪器误差。在物理实验中，还可以简化约定一些仪器的误差限，即取其最小分度值的一半。例如：米尺为0.5mm，干分尺为图1—5—20.005mm，物理天平为0.03g等。有时用仪器对被测量进行多次测量，会出现测量值完全相同的情况，好像不存在随机误差，其实这正说明仪器灵敏度太低，不能反映出多次测量的差异。在这种情况下，可以用仪器误差表示测量值的误差。在实际工作中，有时不需要也不可能进行多次重复的测量，只要一次测量的结果就可以了。对于单次测量值，可用仪器误差作为它的误差限。如果认为测量的随机误差在这个极限范围内服从正态分布，则单次测量值的标准误差为x=3仪式中Δ仪代表仪器误差，x的置信概率仍为68.3％。（二）多次测量的算术平均值和误差的估算1．算术平均值设在同一测量条件下进行多次测量，得到一组测量值1x，2x，…，nx。被测量的真实值为0x，各测量值的误差为0022011,,,xxxxxxxxxnn则算术平均值为x=n1niix1例题：对某一长度测量10次，结果如下：Ni=63.57，63.58，63.55，63.56，63.56，63.59，63.55，63.54，63.57，63.57。求测量结果。解：63.57)63.5763.5463.5563.5963.5663.5663.5563.58(63.5710110110iNiN=63.56cm。平均值并非真实值，但比任一测量值更接近真实值，因此是测量结果的最佳值。当测量次数无限多时，算术平均值就无限接近于真实值。因为niiniinniinxnxxxxx10101111)(=0x+n1由随机误差的抵偿性，有nlimn1niix1=0所以nlimx=0x在实际测量中，只进行有限次数的测量，因此可用算术平均值作为近似真实值。误差指测量值与真实值之差，测量值与平均值之差则称为偏差，二者有所不同。实际测量中只能得到偏差。当测量次数很多时，也可不做区别。2．平均偏差平均偏差可用各测量值偏差的绝对值求出平均值表示，即Δx=n1niixx1平均偏差Δx表示在一组多次测量中，各个数据之间的分散程度。对于一组测量数据，其平均值的平均偏差Δx与任一值的平均偏差Δx之间的关系为Δx=nx可以人为，平均值比任一测量值更接近于真实值，它与真实值的离散程度要小得多。当测量次数n趋于无限大时，平均偏差就表示平均误差。这时任一测量值的误差落在区间x内的概率为57.5％。3．标准偏差还可以用标准偏差来表示测量值的随机误差。由标准误差的表达式可以得到在有限次测量中，标准偏差的表达式为x=12nxxi该式为贝塞尔公式。一般说来，只要测量次数不是很少（比如不少于10次左右），x表示任一测量值的误差δix落在x区间内的概率也是68.3％。可以证明，当测量次数n趋于无限大时，该式即是标准误差σ的表达式。在物理实验中，随机误差既可以用平均误差也可以用标准误差，还可以用其它误差来表示。到底用哪种误差来表示，应该根据对测量结果的可靠程度的要求来确定。目前普遍采用标准误差的表示方法。（三）测量结果的表示根据随机误差的统计意义，可以把测量结果(修正了系统误差以后)写成如下形式：x=x±x（或Δx）式中，x为测量值；x是多次测量数据的算术平均值，代表近真实值；±号表示每次测量值比x或大些或小些；x(或Δx)为绝对误差，表示测量结果的误差范围。不同范围内，被测量真实值出现的概率不同，不能理解成测量结果只有（x±x）两个值。为了增大测量结果的可靠程度，也可粗略地用任一测量值的平均误差Δx或标准误差x表示，即x=x±x（或Δx）而不必用平均值的平均误差Δx或标准误差x来表示。因为平均值x的误差落在[土x]或[士Δx]区间内的可能性更大。在测量次数为10次左右时，x或Δx对x都相当于极限误差，即上述区间相应于95％以上的置信概率。绝对误差尚不能完全反映出测量质量的好坏程度，还要看它在测量值中所占的比重。因此，可用相对误差来表示测量结果的质量。相对误差的表示式为E=xx（或）xx相对误差常以百分数的形式表示，也叫百分误差。对两个不同的测量结果，绝对误差大的，其相对误差不一定大；绝对误差小的，其相对误差未必就小。六、间接