曲线拟合的最小二乘法-2014

理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析第三章函数逼近理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析曲线拟合的最小二乘法问题在工程技术中常常需要根据实验数据求变量间的函数关系，或根据测量的坐标求出某条曲线的方程。给出一组离散点，我们可以用插值的方法确定一个函数逼近原函数。在实际问题中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。另外，有时这些数据大量的，或看似杂乱无章的。理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析况且，有时根据前人的经验或数据的特点可以分析出经验公式的大致形式，只是其中有些参数需要依据确定，不便使用插值逼近。这就需要新的逼近方法。引例、某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析数据表格编号拉伸倍数强度kg/mm2编号拉伸倍数强度kg/mm211.91.4135.05.522.01.3145.25.032.11.8156.05.542.52.5166.36.452.72.8176.56.062.72.5187.15.373.53.0198.06.583.52.7208.07.094.04.0218.98.5104.03.5229.08.0114.54.2239.58.1124.63.52410.08.1理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析0123456789024681012将数据描绘到坐标纸上理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析这种逼近方法要求：1)不要求逼近函数严格过已知的数据点；2)但要求逼近函数在某种意义下尽可能靠近已知的数据点；理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析设f(x)为定义在区间[a,b]上的函数，已知f(x)的一组对应数据(xi，f(xi))，(i=1,2,……,m),＝Span{0，1，……，n}为某一函数类，这一问题称为最小二乘问题。其中(x)称为权函数。曲线拟合的最小二乘法定义在中求一个函数s(x)=a00+a11+…+ann使得2211()[()()]mmiiiiiixsxfx理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析20110(,,,)()[()()]mnnikkiiikIaaaxaxfx即要求：最小。miiimiinxfxsaaaI121210)]()([),,,(当取权函数(x)1时有理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析由于它关于系数{a0，a1，…，an}最小，因此有：njaIj,,0,02102()[()()]()0mnikkiijiikjIxaxfxxa1()()()(,)mikijikjixxx记称为函数k和j的内积。理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析则有nifainkkik,,0),,(),(0于是有方程组：),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101110101000fffaaannnnnnnn法方程由},,{10n的线性无关性，知道该方程存在唯一解理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析多项式拟合当取0＝1，1＝x，……，n＝xn时,s(x)=a0+a1x+…+anxn为一个多项式。此时11(,)(,)()()mmkjkjkjkjiiiiiiixxxxxxx法方程为0111211111121111(,)(,)(,)mmmniiiiiiiimmmniiiiiiiimmmnnnniiiiiiniiiafxxaxxxxfxxxxfa理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析1.线性拟合已知f(x)的一组对应数据(xi，f(xi))，(i=1,2,……,m),取＝Span{1，x}，(x)1.用线性函数:y=a+bx拟合曲线f(x)。法方程为imiimiimiimiimiiyxybaxxxm111211理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析例：炼钢是个氧化脱碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，下表给出某厂平炉生产的记录。xi表示熔毕碳的含量，yi表示冶炼时间，已知y=a+bx。i12345xi165123150123141yi187126170125148试根据数据确定参数a和b，并估计熔毕碳的含量为130时的冶炼时间。理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析i12345xi165123150123141702yi187126170125148758xi2272251512922500151291988199864xiyi3085515498255001537520868108096法方程：5a+702b=758，702a+99864b=108096解之得：a=28.61878453038674,b=1.283609576427256y＝28.61878453038674+1.283609576427256x解：准备数据：理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析f(130)138.25.理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析2.抛物拟合已知f(x)的一组对应数据(xi，f(xi))，(i=1,2,……,m),取＝Span{1，x，x2}，(x)1.用抛物曲线:y=a+bx+cx2拟合曲线f(x)。法方程为imiiimiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiyxyxycbaxxxxxxxxm121114131213121121理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析拟合函数类型常常是根据经验或理论推导的结果来选择的。当无法分析拟合函数的类型时，可根据已知数据的散点图的分布情况和特点选择适当的拟合曲线类型。下面给出几种常用曲线的图形，并可通过适当变换将其化为较简单的拟合：几种常见曲线拟合的线性化理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析1.双曲线：(a0)xbay1理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析2.指数函数：bxaey理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析3．指数函数：(a0)xbaey理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析4．对数函数：xbayln理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析5．幂函数：baxy理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析6．S曲线1xyabe理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析现有一组测量数据如下表：xi0.00.51.01.52.02.5yi=f(xi)2.01.00.90.60.40.3用曲线拟合的最小二乘法求形如y=beax的经验公式，并用该公式估计x＝1.4时的y=f(1.4)的近似值.例理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析解：将y=beax变形，lny=lnb+ax令Y=lny,a0=lnb,则有线性关系：Y=a0+ax，准备数据：于是法方程为：71411.50433.275.135.75.760aa解之得：a0=0.562303,a=0.722282,于是b＝1.754709.经验公式为y=1.754709e0.722282x，y=f(1.4)0.68335I123456Sumxi00.511.522.57.5yi=f(xi)210.90.60.40.3Yi=lnyi0.6931470-0.10536-0.51083-0.91629-1.20397-2.0433xi200.2512.2546.2513.75xiYi00-0.10536-0.76624-1.83258-3.00993-5.71411理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析0.511.522.50.50.751.251.51.752散点图理学院UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyCollegeofScience上海理工大学数值分析0.511.522.50.250.50.7511.251.51.75拟合曲线图理学院Univers