曲线的参数方程

1曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。3．会进行参数方程和普通方程的互化。教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。教学过程一．参数方程的概念1．探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（1）平抛运动：为参数）tgtytx(215001002一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。练习：斜抛运动：为参数）tgttvytvx(21sincos2002．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xyOv=v0)2.....(....................)()({tgytfx2并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。例1．已知曲线C的参数方程是1232tytx(t为参数)（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线二．圆的参数方程)(sincos为参数ttrytrx)(sincos为参数ryrxxyOrMM0x)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cossin2DCBAyx，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程轨迹是所表示的一族圆的圆心为参数、由方程)(045243222tttytxyx)()(sincos{sin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三＝，设＝，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取＝考虑到00)(sincos{OMOMOOMrOryrxt3圆的参数方程的一般形式说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。三．参数方程和普通方程的互化例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。明确参数方程和普通方程的互化的方法。注意，在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。四．课堂练习巩固与提高1．与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）A．22tytxB．tytxcscsinC．tytx1D．tytxcottan么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos{()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数。半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin235cos22yxsin3cos1yx)(sin3cos{sin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM)1,2____(4)0(sin2cos{3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx42．下列哪个点在曲线)(2cossin为参数yx上（C）A．(2,7)B．)32,31(C．)21,21(D．(1,0)3．曲线)(sin2cos12为参数yx的轨迹是（D）A．一条直线B．一条射线C．一个圆D．一条线段4．方程)(cos2为参数yx表示的曲线是（D）A．余弦曲线B．与x轴平行的线段C．直线D．与y轴平行的线段5．曲线)(sincos为参数yx上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）A．21B．22C．1D．26．方程04524222ttytxyx(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线7．直线)(sincos为参数tytx与圆)(sin2cos24为参数yx相切，那么直线的倾斜角为（A）A．6或65B．4或43C．3或32D．6或658．曲线yyx222的一个参数方程为)(sin1cos为参数yx。9．曲线)(11为参数tttyttx的普通方程为422yx。10．已知)(sincos2为参数yx，则22)4()5(yx的最大值是6。11．设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。解：（1）)(9.45881502为参数ttytx。（2）1643m。12．火炮以为发射角，0v为初速度发射，求炮弹的轨迹方程。解：)(21sincos200为参数tgttyytvx。13．动点M从起点M0(1,2)出发作等速直线运动，它在x轴与y轴方向上的分速度分别为6和8，求点M的轨迹的参数方程。5解：)(8261为时间参数ttytx。14．求直线为参数）ttytx(11与圆422yx的交点坐标。解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。圆的参数方程的应用教学目标：知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学重点：会用圆的参数方程求最值。教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.教学过程：一、最值问题1.已知P（x,y）圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。（1）求xy的最小值与最大值（2）求x－y的最大值与最小值2.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是；2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；3.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；4．若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为；二、参数法求轨迹1)一动点在圆x2＋y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,AOP的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.C.参数法解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示例题：1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程。6圆锥曲线的参数方程教学目的：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。(1)圆222ryx参数方程sincosryrx（为参数）（2）圆22020)\()(ryyxx参数方程为：sincos00ryyrxx（为参数）2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？二、讲解新课：1.椭圆的推导：椭圆12222byax参数方程sincosbyax（为参数）2.双曲线的参数方程：双曲线12222byax参数方程tansecbyax（为参数）3.抛物线的参数方程：抛物线Pxy22参数方程PtyPtx222（t为参数）1、关于参数几点说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样（3）在实际问题中要确定参数的取值范围2、参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。3、参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为),(yx（2）选取适当的参数7（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程4、关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t做参数与旋转的有关问题选取角做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。二、典型例题：例1．设炮弹发射角为，发射速度为0v，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）（2）若smVo/100，6，当炮弹发出2秒时，①求炮弹高度②求出炮弹的射程例2．求椭圆的参数方程（见教材P.40）椭圆12222byax参数方程sincosbyax（为参数）变式训练1.已知椭圆sin2cos3yx(为参数)求（1）6时对应的点P的坐标（2）直线OP的倾斜角变式训练2A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率e的取值范围。例3．把圆0622xyx化为参数方程（1）用圆上任一点过原点的弦和x轴正半轴夹角为参数（2）用圆中过原点的弦长t为参数8三、巩固与练习四、小结：本节课学习了以下内容：1．选择适当的参数表示曲线的方程的方法;2．体会参数的意义五、课后作业：教材P34习