曲线的参数方程及应用

第62讲曲线的参数方程及应用【学习目标】1．了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关问题．2．掌握参数方程与普通方程的互化，会根据给出的参数，依据条件建立参数方程．【基础检测】1．直线l：1,3xsys(s为参数)的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】消去s可得y＝3(x－1)，该直线的斜率k＝3，所以tanα＝3，故倾斜角α＝π3.C2．已知椭圆C的参数方程为x＝5cosθy＝3sinθ(θ为参数)，则其一个焦点坐标是()A．(－5，0)B．(0，－3)C．(－4，0)D．(0，－4)【解析】由已知可知椭圆焦点在x轴上，则a＝5，b＝3，从而c＝4，则其焦点为(±4，0)，故选C.C3．若过点(－2，0)的直线l被圆C：423cos,23sinxy(θ为参数)所截得的线段的长不小于23，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，π6B.56π，πC.π6，5π6D.0，π6∪5π6，πD【解析】设直线l的斜率为k，倾斜角为α，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.圆C的普通方程为(x－4)2＋y2＝12，圆心C(4，0)，半径r＝23，圆心到直线l的距离d＝|6k|k2＋1，由题意得2r2－d2≥23，即12－36k2k2＋1≥3，解得－33≤k≤33.又k＝tanα，且α∈[0，π)，∴α∈0，π6∪5π6，π.4．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆2cos,3sinxy(θ为参数)的右焦点，且与直线42,3xtyt(t为参数)平行的直线截椭圆所得弦长为____．154【解析】椭圆的普通方程为x24＋y23＝1，则：右焦点为(1，0)．直线42,3xtyt的普通方程为x－2y＋2＝0，所以过点(1，0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线为x－2y－1＝0.由221,43210,xyxy得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为1＋122×122－4×－114＝154.【知识要点】1．参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即(t为参数)，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程，前面学过的直接给出曲线上的点的坐标间关系的方程，叫做曲线的普通方程．在曲线的参数方程中，参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．要明确参数的取值范围，这个范围决定了曲线的存在范围，并且两者要保持一致．x＝f（t）y＝g（t）2．参数方程和普通方程的互化(1)由参数方程化为普通方程——__________，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．消参时应特别注意参数的取值范围对x，y的限制．由参数方程化为普通方程一般是唯一的．(2)由普通方程化为参数方程——________，参数选法各种各样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的．消去参数选参数3．直线参数方程的几种形式(1)标准式：经过点M0(x0，y0)，倾斜角为θ的直线的参数方程为(t为参数)，其中t是直线上的定___________点M0(x0，y0)到动点M(x，y)的_____________________，即t＝±|M0M→|.当点M(x，y)在点M0(x0，y0)的上方时，t＞0；当点M(x，y)在点M0(x0，y0)的下方时，t＜0；当点M(x，y)与点M0(x0，y0)重合时，t＝0.由于直线的标准参数方程中t具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决方便了很多．00x=x+tcosθ,y=y+tsinθ.0MM有向线段的数量(2)点斜式：(t为参数)，其中(x0，y0)表示该直线上的一点，ba表示直线的斜率．当a，b分别表示点M(x，y)在x轴正方向与y轴正方向的分速度时，t就具有物理意义——时间，相应的at，bt则表示点M(x，y)在x轴正方向、y轴正方向上相对(x0，y0)的位移．00x=x+at,y=y+bt.4．圆锥曲线的参数方程(1)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为(θ为参数)．(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．00x=x+rcosθ,y=y+rsinθ.x=acosθ,y=bsinθ.x=asecθ,y=btanθ.2x=2pt,y=2pt.5．渐开线和摆线(1)圆心在原点，半径为r的圆的渐开线的参数方程：x=r(cosφ+φsinφ),y=r(sinφ-φcosφ).(φ为参数)．(2)半径为r的圆x2＋(y－r)2＝r2的摆线的参数方程：x=r(φ-sinφ),y=r(1-cosφ).(φ为参数)．一、参数方程与普通方程的互化例1将下列参数方程化为普通方程：(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2，(k为参数)；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ，(θ为参数)；(3)x＝1－t21＋t2，y＝t1＋t2，(t为参数)．【解析】(1)两式相除，得k＝y2x，将其代入得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0，2]，得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0，2]．(3)由1－t21＋t22＋2t1＋t22＝1，得x2＋4y2＝1，又x＝1－t21＋t2≠－1，得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．【点评】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数的关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．二、参数方程的应用例2已知曲线C1：4cos3sinxtyt(t为参数)和曲线C2：8cos3sinxy(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：322xtyt(t为参数)距离的最小值及此时Q点的坐标．【解析】(1)分别消去曲线C1和C2中的参数，可得到C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4，4)，设Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ.C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|，从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取最小值855.所以，此时Q点的坐标为325，－95.三、参数方程与极坐标综合例3已知曲线C1的参数方程为210cos10sinxy(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋6sinθ.(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．【解析】(1)由210cos10sinxy消去参数θ，得C1的普通方程为(x＋2)2＋y2＝10.由ρ＝2cosθ＋6sinθ，得ρ2＝2ρcosθ＋6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10.(2)因为圆C1的圆心为(－2，0)，圆C2的圆心为(1，3)，所以|C1C2|＝（－2－1）2＋（0－3）2＝32210，∴两圆相交．设公共弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2.所以d22＋3222＝(10)2，所以d＝22，即公共弦长为22.〔备选题〕例4在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1、直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为33,12xtabyt(t∈R为参数)，求a，b的值．【解析】(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解22(2)4,40xyxy得12120,2,4,2.xxyy所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1.所以1,212,2bab解得a＝－1，b＝2.1．选取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的物体运动时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略)．3．参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．4．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．5．在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．6．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．(2014辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得11,2.xxyy由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1，即曲线C的方程为x2＋y24＝1.故C的参数方程为cos,2sinxtyt(t为参数)．(2)由221,4220,yxxy解得1,0xy或0,2.xy不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρ