曲线积分与曲面积分习题

微积分习题课电子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心DepartmentofMathematics微积分习题课电子教程主要内容介绍典型例题选讲课堂自主练习DepartmentofMathematics1第一型曲线积分的练习2第一型曲面积分的练习3第二型曲线积分的练习第十章曲线积分与曲面积分(第一次习题课)DepartmentofMathematics基本概念理解的概念第一型曲线(对弧长的)积分、第一型曲面(对面积的)积分、第二型曲线(对坐标的)积分的定义、性质、几何或物理意义以及两型线积分的联系.熟练掌握的内容上述积分的计算(在各个坐标系下)DepartmentofMathematics基本计算能力直角坐标系下的计算参数方程下的计算能用线、面积分表达一些几何量和物理量(空间曲线、曲面的质量、重心、转动惯量、变力沿有向曲线作功等)极坐标系下的计算DepartmentofMathematics第一型曲线积分niiiiiLsfdszyxf10),,(lim),,(第一型曲线积分的计算公式dttztytxtztytxfdszyxfttttzztyytxxLttL22210)]([)]([)]([)](),(),([),,(,),(),(),(:10则且的方程为若空间曲线主要内容介绍DepartmentofMathematicsdxxyxyxfdsyxfbxaxyyxxLbaL2)]([1)](,[),(,),(,则且的方程为若平面曲线其重要性质是此类积分与起、终点无关.或者说下限应小于上限.drrrrfdsyxfrrLL2210)]([)]([]sin,cos[),(,),(10则且的方程为若平面曲线DepartmentofMathematics第一型曲面积分niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(第一型曲面积分的计算公式dxdyyzxzyxzyxfdSzyxfDxoyyxfzD22)()(1)],(,,[),,(,),,(则为坐标平面上的投影区域其在的方程可表示为若空间曲面同理,有其它两个公式此类积分与曲面的方向无关.DepartmentofMathematics第二型曲线积分)},,(),,,(),,,({),,(zyxRzyxQzyxPzyxF设.曲线积分为组合形式下的第二型称LLLLRdzQdyPdxRdzQdyPdx第二型曲线积分的计算则有未必小于终点起点且的方程为若空间曲线),(,),(),(.11010tttttttyytxxLLQdyPdxdttytztytxQtxtztytxPtt)}()](),(),([)()](),(),([{10DepartmentofMathematics则有未必小于终点起点且的方程为若平面曲线),(,),(,.2babxaxxyyxxL)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则有未必小于终点起点且的方程为若平面曲线类似的),(,,),(,dcdycyyyyxxL]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcLDepartmentofMathematics两类曲线积分之间的联系dsQPQdyPdxLL)coscos(曲线的质量,),,(:),,,(LdSzyxMzyxL质量为则空间曲线的的线密度为若空间曲线曲面的质量则曲面的质量为为曲面上的面密度的表达式为投影区域为坐标平面投影向若空间曲面),,,(),,(,,zyxyxfzDxoy,)()(1)],(,,[),,(22dxdyyzxzyxzyxdSzyxMDDepartmentofMathematics平面曲线绕已知轴旋转的转动惯量LdsyxyxdIyxdyxyxL),(),(),,()(),(),,(,2转动惯量为则平面曲线绕转动轴的为的垂直距离直线到已知轴在其上任一点其线密度为为平面曲线设LyLxdsyxxIdsyxyI),(),(,22为则平面曲线的转动惯量若已知轴为坐标轴DepartmentofMathematics平面曲线的重心LdsyxMyxL),(),,(,曲线质量为其线密度为为平面曲线设LyLxdsyxxMdsyxyM),(,),(静力矩分别为.),(),(,),(),(),(LLxLLydsyxdsyxyMMydsyxdsyxxMMxyx为则重心坐标DepartmentofMathematics第二型曲线积分的物理意义点所作的功为点移动到从沿光滑曲线则变力BALFzyxRzyxQzyxPzyxF)},,,(),,,(),,,({),,(dsRQPRdzQdyPdxWLL)coscoscos(LTdsF.,),,(}cos,cos,{cos的方向一致到其方向与单位切向量处的上一点为弧BAzyxLTDepartmentofMathematicsDepartmentofMathematics设的一段弧；到自点是)2,1()0,0(4).1(21AoxyL的折线段；到，经是自点)2,1()0,1()0,0().2(2ABoL两段线状物体的线密度为该点的纵坐标的值，求这两线状物体的质量。yxoBA解LdsyxM),(Lyds11).1(LydsMdyyds221例11.第一型曲线积分的计算DepartmentofMathematicsBAOBydsydsM2(2).BAOBOAdxdsyOB,0:dydsxBA,1:20100ydydx=221MM102121dyyyM10122dttty12234yxoBADepartmentofMathematics例4解,.22222ayxLdseLyx为曲线其中计算形边界。在第一象限中所围的图直线,0xyxdseLyx22xyo22aAB.0,0:ayxoA.0xdseOAyx22dyeay0120022dyeay0.1aedsedsedseOByxAByxOAyx222222例2DepartmentofMathematicsdttataetata)sin()cos(2224)sin()cos(22dtaea24.6aea.24,sin,cos:ttaytaxABdseAByx22.cos,sintaytax.1aedxeax22202.220,:axxyOB.1ydseOByx22dxeaxx11222022DepartmentofMathematics于是，dseLyx22dsedsedseoByxAByxoAyx222222)1(4)1(aaaeeae.2)42(aeaDepartmentofMathematics说明：1.计算第一型曲线积分时，可以用积分曲线L的方程化简被积函数。2.设L关于x轴对称,若f(x,-y)=-f(x,y),则若f(x,-y)=f(x,y),则.0),(dsyxfL.),(2),(1dsyxfdsyxfLLDepartmentofMathematics计算.,)(22222ayxLdsyxLn为圆周其中xyao(2)把弧微分ds变成参变量的微分式adtdttatadtyxdstt222222cossin分析:(1)画出积分路径的图形,练习1解:)()()()](),([),(22dtttttfdsyxfL.2cossin)(122012222220222nnnLnadtadttataadsyxDepartmentofMathematics计算,222dszyxyL(2)再把它代入上半球面的方程x2+y2+z2=4a2,得z=2asint/2.其中L是上半球面z≥0与柱面x2+y2=2ax的交线.分析:曲线是两个曲面的交线,它的投影曲线为x2+y2=2ax.现在我们把曲线L变成参数方程:(1)曲线变形为x2+y2=2ax→(x-a)2+y2=a2，参数方程为x=a(1+cost)，y=asint练习2x2+y2+z2=4a2，DepartmentofMathematicsdttatatadtzyxdsttt2coscossin222222222(3)于是参数方程为20,2sin2,sin),cos1(ttaztaytaxdtta2cos1223432|)2cos1(320232tdttaatadszyxyL2cos14|sin|||2202222tdttsin2cos12102)2cos1(2cos1202tdtDepartmentofMathematics,,1422SyxL其周长为为曲线.)4(22Ldsyxxy计算解:,0Lxyds由对称性必有LLdsyxdsyxxy)4()4(2222故.44SdsL练习3DepartmentofMathematics计算Ldsyx)(3434323232ayx解:由于图形对称,我们只计算第一象限的ABdsyxdsyxL)(4)(34343434在第一象限中,星形线的参数方程为)20(sincos33ttaytaxtdttadtttattadscossin3)sincos3()sincos3(2222aaxy-a-a其中L为星形线:练习4DepartmentofMathematicsABdsyxdsyxL)(4)(34343434利用公式直接得到:2/066372/05537)cos(sin12)cossinsin(cos12ttdadttttta372/066374]cos[sin2attatdttattacossin3)sin(cos4442/034DepartmentofMathematics计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解:在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性,得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox练习5DepartmentofMathematicsdds计算,d)(222szyxI其中为球面22yx解:,11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z.1的交线与平面zx292z化为参数方程21cos2xsin2y则练习6DepartmentofMathematics例3其中积分路径计算,arctan)1(OmAnOdxdyxy).(,2如图所示为直线为曲线xyOnAxyOmAOAmn2.第二型曲线积分的计算解(1)AnOOmAdxdyxyarctan原式0110)14()12(arctandxdxxx144arctan210xdxxDepartmentofMathemati