曲线积分与曲面积分复习

1第8章曲线积分与曲面积分8.1向量值函数在有向曲线上的积分第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功lFlFwcos||||变力沿曲线运动取微元QdyPdxdsFdw||，则LQdyPdxW。平面曲线LQdyPdx，空间曲线LRdzQdyPdx，性质LL一、计算方法1．设参数，化定积分LdxyxP),(＋dyyxQ),(＝dttytytxQtxtytxPtt})()](),([)()](),([{102．平面闭曲线上积分－用格林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ，其中L是D的取正向的边界曲线，D为单连通区域，P，Q与LD上有连续一阶偏导数。3．对于积分与路径无关的可自选路径4．积分与路径无关),(),,(yxQyxP及偏导数于LD上连续。下列四个命题等价（1）CQdyPdx＝0，对D内任意闭曲线C.（2）LQdyPdx积分与路径无关（3）存在),(yxu使du＝dyyxQdxyxP),(),(BALLuduQdyPdx|（4）xQyP在D内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分2二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1）计算LydxxdyI，:L如图ABCDEA解（1）设参数法LiLi51于1L上设txcos，tysin02222)sin(cos1dtttydxxdyL于2L上设txcos，tysin220)sinsin2cos2(cos2dtttttydxxdyL于3L上以x为参数，xdxdy2202238)]2()2([3dxxxxydxxdyL于4L上以y诶参数2x，0dx10224dyydxxdyL于5L上1y，以x为参数(0dy)022)1(5dxydxxdyL综上231423Lydxxdy解（2）（用格林公式）)(224321SSSSdxdyydxxdyDL231423222232212141412（2）计算CdzxdyzdxyI222。其中C是曲线)0,0(222222zRRxyxRzyx从x轴正向看去，逆时针方向。解（1）令2sinsin2cos22222RyxRzRyRRx3dRRRRRRI]2cos2)cos1(4cos22sinsin2sin4[22222022341R解（2）由对称性02Cdyz，而02Cdxy，02Cdzx，由上述参数法dtttRtdRRI22cossin22cos22sin0232022204232023)sin2(sin2)sin21(sindtttRdtttR3341224132212RR注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线(2)对称性问题，以直观（几何）定义解之为好（3）计算：Lxdzzdyydx。1:222zyxRyxL交线，从z轴正向看去逆时针方向。（令tRxcos,tRysin，tRtRzsincos1）例2格林公式（加线减线）（1）计算Cxxdyaxyedxyxbye)cos()](sin[，:C从点)2,0(aA沿曲线22yayx到点)0,0(O的曲线。连接O，A直线段（记为L）LLCQdyPdxQdyPdxILCxxdyaxyedxyxbye)cos()](sin[Lxxdyaxyedxyxbye)cos()](sin[aDxxydydxdybyeaye20cos)]cos()cos[(aabaydxdyabaD2sin)(2|sin)(2202．L是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分Lyxydxxdy224。4解（1）当L不包围原点时LDdxdyyxyxyxyxyxydxxdy0)4(4)4(44222222222222（2）当L包围原点时，做小椭圆2224:yxL(使充分小，从而eL含于闭曲线内)。则221)11(1222LDLLdxdyydxxdy。注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇点；只当满足yPxQ可微，此时对于任意围奇点的闭曲线积分相等。例3（积分与路径无关问题）.aP，Q已知，积分与路径无关，自选路径（1）计算Lyxydxxdy22，L：xy2cos，由)0,1(A至)1,0(B再到)0,1(C弧段解易验证yPxQ，积分与路径无关，做)0(122yyx段（记为1L）则原式1)sin(cos02222LLdtttydxxdyyxydxxdy（2）计算^)(cos)12(AOByydyxeydxexy，其中^AOB为起于)1,1(A沿2xy到)0,0(O再沿0y至)0,2(B。解20)10(cos12^^^dxydyxydxdyxedxeIAOOBAOyyAO2cos12)(01012^ydydxxxxedAOy1sin12|sin|41201014)0,0()1,1(eyxxeyb．P，Q之一未知，已知积分于路径无关问题。（1）设f具有连续二阶导数，且1)1()1(ff，Ldyxyfxydxxyxfxy0[]2，其中L是任一不与y轴相交的简单光滑闭曲线，求)(xf。5解L原积分为零，则yPxQ，即xyfxyxxyfxyfxxxy2)()(2xyxyfxyfxy22，令txy，得ttftft2)(2)(，2)(2)(tfttf222222222122)(cttctttcdtttcdteetfdttdtt代入1)1(f得c21，3c，tttf23)(2，123)(ctttf，代入初值1)1(f得1111c,11c，则1)(23tttf即1)(23xxxf（2）设函数),(yxQ与xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分LdyyxQxydx),(2路径无关，且t恒有),1()0,0()1,()0,0(),(2),(2ttdyyxQxydxdyyxQxydx求),(yxQ。解由于积分与路径无关，得xxyyxQ2)2(，则)(),(2ycxyxQ，)(yc为待定函数，则101022)1,()0,0()())((),(2dyyctdyyctdyyxQxydxtttttdyyctdyycdyyQdyyxQxydx000),1()0,0()())(1(),1(),(2从而tdyyctdyyct0102)()(，对t求导得)(12tct，12)(ttc，12)(yyc从而12),(2yxyxQ；小注：上述两例由积分与路径无关，和P，Q之一未知而导得微分方程，称为解方程问题。8.2向量值函数在有向曲面上的积分一、概念与形式1．定义流量svvnSvQ),cos(||，RdxdyQdzdxPdydzdsvdQ)),,(),,,(),,,((zyxRzyxQzyxPv6SSRdxdyQdzdxPdydzdSv2．物理意义：计算流量，通量3．性质：SS4．计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分5.高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP，或dSRQPdvzRyQxP)coscoscos(这里是的整个边界曲面的外测,cos,cos,cos是在点),,(zyx处的法向量的方向余弦.二、例题例1求积分外Sxyzdxdy，其中1:222zyxS，0,0yx部分外测解把S分成两部分：221:yxzS上，221:yxzS下xyxySSSDDdxdyyxxydxdyyxxy)1()1(12222下外上外外1521cossin21210224022rdrrrddxdyyxxyxyD。例2SdxdyzydzdxI)1(，其中4:22yxS被0,2zxz所截部分曲面外测。解：右外左外外SSSydzdxydzdxydzdxzxzxDDdzdxxdzdxx224)4(84242202222xDdzdxxdzdxxzx0)1(外Sdxdyz综上，原式8。7例3计算21222)()(zyxdxdyaxaxdydz，:下半球面222yxaz上侧)0(a。解做xoy面222ayx，记0S，取下侧，则原式dxdyaxaxdydzaadxdyaxaxdydzaSS)()0(11)(100（下2332))0((1)1(1aadxdyaxaadvaxyDV例4计算dxdyzzyfydzdxyzyfzdydzx222)(1)(1，其中f具有连续偏导数，1,:22222zyxyxz和4222zyx所围立体表面外测。解vdvzzyfyyfzxI]2)(1212[222124020||0||0cossin22)(2rdrrddzdvdvzyxvv415例5设S为上半球面：)0(),0(2222azazyx，下列积分不为零的是（A）上Sdydzx2；（B）上Sxdydz；（C）SxdS；（D）SxyzdS（B）8.3Stoks公式应用例一、公式：SlRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxSdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(,l与S的方向满足右手定则。二、例题8例1计算Cxdzzdyydx，C为曲线02222zyxazyx其方向为从z轴正向看去为反时针方向。解原式SSdxdydzdxdydzxzyzyxdxdydzdxdydzSdS)coscos(cos由0),,(zyxzyxF，1xF，1yF，1zF，)1,1,1(n。31,31,310n，coscos31cos。上式233adSS。例2计算LdzyxdyxzdxzyI)3()2()(222222，其中L是平面2zyx与柱面1||||yx的交线，从z轴正向看去为逆时针方向。解原式Syxxzzyzyxdxdydzdxdydz22222232Sdxdyyxdzdxxzdydzzy