浅谈现代数学思想中公理化思想在中学数学中应用

浅谈现代数学思想中公理化思想在中学数学中应用摘要：本文为了研究现代数学思想在中学数学中的应用，其中公理化演绎思想在现代数学中占有统治地位，对现代教育的发展也起着重要的作用，为此，研究了公理化思想在中学数学中的应用的问题。文章首先现代数学思想的起源，继而讨论中学数学中几种常用的数学思想集合思想，方程与函数的对应思想，划归思想，随机思想，极限思想，数学模型思想，讨论这些模型是否属于公理化思想。从而得到了现代数学思想在中学数学的重要地位，及现代数学思想的渗透能更好的帮助学生提高数学能力。关键词：现代数学思想公理化思想中学数学引言研究内容：现代数学思想简述，公理化演绎推理公理化在中学数学中的应用一、现代数学思想简述当今的时代是科学飞速发展，新技术迅猛增长的时代，是知识爆炸，信息高速发达的时代。现代社会的发展对人才智能提出了更高的要求，也引起了数学教学的任务和性质的根本变革。当前，更新旧的教学观念和教学思想，改进旧的教学方法，促进数学的学习和人才的成长已成为数学教学改革的重要任务。因此，加强对数学思想方法教学的研究具有极大地指导和推动作用。1.数学思想方法的含义从教学角度来看，数学知识不仅仅指它所包含的数学内容，如概念、定理、公式、法则等等，还包括由这些内容所反映出来的数学思想方法。数学思想是人脑对数学对象的本质属性与内在联系的问题概括，间接的反映过程。数学方法是进行科学抽象的一种方法，它运用数学概念、符号、公式、理论对所研究的对象进行量与结构的分析，并对其结果进行判断，以便从量与形及其之间关系上去认识研究对象的运动变化规律。数学思想方法是人们对数学深刻理解的反映，它直接支配着数学的实践活动。任何数学事实的理解，数学概念的掌握，数学方法的运用，数学理论的建立，无一不是数学思想方法的体现与运用。因此可以说，数学思想方法是对数学概念、方法和理论的本质认识。数学思想方法是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动力。2．现代数学思想方法的起源与发展数学是一种古老而又年轻的文化，数学教学则是延续人类数学文化的社会活动。从19世纪20年代到现在，是近代和现代数学时期。在此期间，数学各分支都达到了比较完善的程度，数学的研究对象发生了重大变化，向着更加一般化、抽象化和多样化的方向发展。出现了许多具有划时代意义的数学思想方法。例如，俄国数学家罗巴切夫斯基和德国数学家黎曼从否定欧氏几何第五公设出发，分别创立了“罗氏几何”与“黎氏几何”，导致了现代公理化方法的诞生；法国数学家伽罗华从全新的观念出发引入了“群”的概念，创立了群论的思想方法。非欧几何与群论的出现，是数学史上具有划时代意义的事件，也是数学思想方法发展到新阶段的里程碑。现代数学思想方法在中学数学教学中的地位越来越突出，目前，数学方法论已成为中小学新课程中十分重要的教学内容。如今，中学数学教学在很多方面尚有待于进一步研究与完善，在这里，仅从现代数学思想方法在中学数学教学中的作用为切入点，阐述对中学数学教学的认识与理解。二、公理化演绎思想所谓公理化，就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本命题）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造。数学公理化的目的就是要把一门数学表述为一个演绎系统。这个系统的出发点就是一组基本概念和公理。因此，如何引进基本概念和确立一组公理便是运用公理化方法的关键，也即这种方法的基本内容。当然并不是说公理化思想就不需要实践经验，恰恰相反，在很多时候，公理化思想给我们的启示是，我们要常常回到问题的出发点，按照冯·诺伊曼所讲的去“返本求源”，为问题注入新的直接经验，重新建立问题的基本假设（公理或者概念），从而重建关于问题的描述模型。以所熟悉的数据挖掘领域的研究为例。在学习数学的过程中我们最初是了解它（直接或者间接经验）；在了解的基础上，经过实验或者逻辑证明，我们对它有了进一步的认识和理解，最后可以内化为自己思想中的成分，以至可以在不自觉中就使用，这是我们学习一般都可以达到的阶段；“知识”经过内化之后，经过进一步的反思，它会使得我们个体的知识系统化，从而达到一种自觉的状态，也就是我们知道“自己知道某些东西”；最后，知识的系统化可以达到一种不自觉的自然状态（注意这种状态和第二个阶段的不自觉应用是不同的），我们可以对这个系统化之外的对象加以处理，那就是智慧了。数学知识分为两类：一类是陈述性知识（或者说明性知识），是关于事实本身的知识，例如定义、定理、公理、概念、性质、法则、运算律等等，是关于是什么的一类知识；另一类是程序性知识，指怎样进行认识活动的知识。陈述性知识可通过说明、解释、举例等方式达到理解，是可传授的，易掌握的，通过训练是能够牢固掌握的。程序性知识更多地体现在经验，可传授性差，要靠体验、意会和悟性，而体验是要在过程中生成的，需要逐步积累的。三、中学数学中渗透的公理化思想1、几何公理方法的重要实例——希尔伯特公理体系希氏公理体系包括基本概念和基本公理两大部分。基本概念包括点、线、面三个基本元素及结合关系、顺序关系、合同关系三个基本关系。基本公理包括：Ⅰ．结合公理Ⅰ1过两点有一直线；Ⅰ2过两点至多有一直线；Ⅰ3直线上至少有两点，又至少有三点不在同一直线上；Ⅰ4过不在同一直线上的三点必有一平面，每一平面上至少有三点Ⅰ5过不在同一直线上的三点至多有一个平面；Ⅰ6如果一直线的两点在某平面上，则该直线的所有点均在此平面上；Ⅰ7如果两平面有一公共点，则它们至少还有另一公共点；Ⅰ8至少有四点不在同一平面上。．平行公理令A是不在直线l上的点，则在A与l确定的平面上至多有一直线过A而与l不相交。2，现代形式公理系统的基本结构及具体实例符号集a）逻辑符号：“∨”、“∧”、“”、“”、“”等。b）非逻辑符号：指对象的符号，如x、y等；对称关系和函数的符号，如f、g、F、G等。3、关于中学数学中的几何公理体系及处理方法根据国内外教材改革实验的经验与训练，我国现行统编中学数学教材主张基本上保持欧氏几何公理体系，在内容上进行删繁就简，主要考虑到学生的可接受性，并不过分追求公理要求的严谨，主要有以下特点：(1)不明确指出哪些是原始概念，对基本对象（如点、线、面）通过直观进行描述：例如，“线线相交于点”，“面面相交于线”，这里的“点”、“线”、“面”、“相交”其实都是基本概念。(2)对一些理应严格定义的概念，也采用直观描述的方法：例如，“线段”和“射线”，“用直尺把两点连起来，就得到一条线段。”“线段向一方无限延伸，就形成射线。”这里的“无限延伸”意义不明确，“直尺”也是直线的同义语。(3)扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严格公理系统中可以证明的定理，也列为公理，不加证明地去使用。如“两点决定一直线”，“两点间线段最短”，“垂线的唯一性”，“平行线的同位角相等”，“三角形全等的三个判定”等等。皆视为公理（在“公理”这个术语出现之前叫“基本性质”）。(4)尽管扩大公理体系，公理仍不完备。例如，因为没有提出顺序公理与连续公理（仅仅是默认），证明时或多或少借助于直觉。基本概念实数解释1．点p2．直线l3．p在l上4．123ppp有序实数对(,)xy有序实数比(::)abc，其中220ab0axbyc，其中220ab212132320xxyyxxyy（两分母不同时为零；分母为零时，分子为零）1223pppp5．1212pppp6．1射线01pp6．2角102ppp222221212121()()()()xxyyxxyy有序四实数组00(,;,)xymn，其中221mn，10100xxyymn有序六实数组001122(,;,;,)xymnmn，其中22111mn，00(1,2)iiiixxyyimn且1122001101xyxyxy两数组001122(,,,,,)xymnmn与001122(,,,,,)xymnmn，且总结；纵观数学发展的历史可以清楚地看到，数学上每一项重大成果的取得，无不与数学思想的突破及方法的创新有关。因此，掌握数学思想方法并努力开拓新的数学思想方法是数学创造的巨大动力。正是在这个意义上，研究现代数学思想方法在中学数学教学中的应用对促进数学的发展具有重大意义。恩格斯指出，数学是“研究思想事物”的科学，数学的研究对象是一种抽象的思维创造物。人们正是在这个抽象的数学王国中不断地研究和发现数学结构内部的固有联系和规律，揭示数学的知识和方法。数学的思想方法提供了思维活动的路线、程序和方式，具有“训练思维的体操”的作用，因此，加强数学思想方法的学习与研究对于发挥数学的思维功能大有裨益。掌握数学思想方法的基本知识，不仅有助于加深对数学知识的理解，而且有助于掌握数学理论和数学方法的精神实质，从而提高分析和解决实际问题的能力。另外，人们对数学思想方法的不断研究和改革，为在数学教学中全面培养学生的数学能力奠定了基础，因此，研究数学思想方法的教学对于促进数学的学习是大有裨益的。总之，中学课本教学中还有很多结合现代数学思想及公理化思想的内容，经过逻辑推理建立的演绎体系。如果中学生能够很好的理解这些思想，对中学数学的学习，及数学能力的培养塑造，有极大的好处，并且，对日后的高等数学的学习也是受益终生。参考文献；高中数学中公理化的改革思想《数学教育学报》2003年第3期胡作玄，邓明立《20世纪数学思想》山东教育出版社，1999。王青建张宏斌《现代数学思想与中学数学》长春辽宁师范大学出版社王玉文马海凤赵宇华《现代数学思想选讲》哈尔滨工业大学出版社