最优捕鱼

1A题最优捕鱼策略摘要本文基于对鲳鱼捕捞量最大问题，通过对鲳鱼产卵量，自然死亡量，捕捞调节量，捕捞强度的假设，在可持续发展的条件下，利用数学公式建立了数学模型，并通过matlab求解，求出了问题一中的捕捞强度kc=0.29，然后求出了在可持续发展条件下的最大捕捞量w=。对于问题二，我们做出了两种假设，通过问题分析和建立模型求出了在两种假设下各自的最大捕捞量本别为，并通过比较得出了最优捕鱼策略。本文的最大特点是考虑了捕捞调节系数，从而在获得最大捕捞量的同时也使生态可持续发展，数值表示我们的模型基本令人满意。关键字：捕鱼可持续发展一、问题重述2为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，……，４龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×10^5(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×10^11/(1.22×10^11+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的８个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。１）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。二、问题分析对于问题中，各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年），我们做了分析和理解，得出结论，题目中所指的0.8每年的死亡率，指的应该是1，2，3，4龄鱼的自然死亡的数量，加上3，4龄鱼的捕捞掉的数量。总的来说，当前8个月捕捞过后，且3，4龄鱼产卵的小鱼没有孵化，12个月后，池塘里剩下的鱼就只有年初时鱼群总数的0.2。这0.2就包括自然死亡率下剩下的1龄鱼和2龄鱼，还有自然死亡率下的在捕捞剩下的3、4龄鱼。题目中的自然死亡率，由于在捕捞期，鱼除了自然死亡，还有捕捞掉的，产卵四个月，只有自然死亡率，所以求得日自然死亡率便于计算。对捕捞系数比为0.42：1的理解，如果设捕捞强度是k,那么打一次鱼，其中，3龄鱼和4龄鱼的数量就是0.42k和k。对问题一中的可持续捕捞的理解。要保证池塘里的鱼可持续捕捞。就得保证，在捕捞期过后，剩下的3，4龄鱼产生足够的鱼卵，只有在这样的情况下，才能保证，第二3年的时候，有足够多的1龄鱼诞生。保证可持续捕捞。且，由题目所得成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为11111.22101.2210n可知，1龄鱼的数量也影响了，卵的成活率。问题一中，它所求的是，在满足上面可持续捕捞的情况，得到最高的年收获量，即就是捕捞的总重量最大；那么在两个捕捞强度系数比0.42：1，3龄鱼17.86，4龄鱼22.99，且产卵能力平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，在这几种情况下，既要保证来年1龄鱼的数量，又要保证捕捞的重量，建立模型，它们之间的最优即为本题所解。我们根据题目给出的数据，计算出了第n年捕捞的3龄鱼和4龄鱼的数量，再根据每年各龄组鱼群不变写出等价关系式，计算出应捕捞的鱼，最后计算出了捕捞总重量。对于问题二，要求在鱼群的生产能力不遭到太大破坏的条件下得到最大收获量，即捕捞的3龄鱼和4龄鱼的总重量最大。要做到鱼群的生产能力不遭到太大破坏，我们理解为到第五年的时候各龄鱼的数量之比始终保持不变。我们通过计算捕捞的3龄鱼和4龄鱼的总重量和剩下的3龄鱼和4龄鱼的产卵数列出关系式，最后由各龄鱼数量比例不变求出当年保持生态平衡的最优捕捞强度。为此，我们做出了两种假设。1、从第一年到第五年，3龄鱼和4龄鱼的捕捞强度始终不变。在这种假设下，我们设每年四龄鱼捕捞强度为0T，三龄鱼捕捞强度为0.420T。由于每年的捕捞强度始终不变，所以只需要使第二年保持平衡即可使第五年保持平衡。2、从第一年到第五年，3龄鱼和4龄鱼的捕捞强度始终改变。在这种假设下，我们设第n年4龄鱼捕捞的数量为Tn，3龄鱼捕捞的数量为0.42Tn。三、模型假设1、在捕捞的过程中，鱼群的自然死亡率不会受到影响；2、在产卵期间自然死亡的3，4龄鱼都忽略产卵；3、一个月平均30天；4、在一个渔场中鱼的均匀分布；45、每一次下网打到的鱼比例都满足0.42：1；不会因为在某个区域，打到的鱼偏差太大；6、只能捕捞到3，4龄鱼，偶尔捕捞到的1，2龄鱼，忽略不计；7、渔场中的生态环境稳定，不与外界发生太大联系，无外界生物破坏生态环境稳定；8、渔场环境容纳量足够大；四、符号说明符号含义NitNt表示（i=0，1，2，3，4）龄鱼数量表示时间表示捕捞后剩下的3、4龄鱼（t=3、4）SP死亡率（0.8）表示存活率rQQi日自然死亡率产卵总数表示产卵能力（i=3，4）WW1表示3，4龄鱼的捕捞重量表示无可持续的捕捞量K表示捕捞系数强度Kc捕捞调节系数Ti表示捕捞强度（i=0,1,2,3,4,5）Ni(t)表示第t年，的i龄鱼（i=1234t=12345）X捕捞3龄鱼数量Y捕捞4龄鱼数量五、模型的建立与求解1.问题一1、由于1，2龄鱼和非捕捞期的3，4龄鱼只有自然死亡率，所以求得日自然死亡率就相对关键：50.8S则10.8P0.2365(1)0.2r解得：0.0044r2、产卵量直接决定了，鱼群能否可持续发展，求得在捕捞期过后的产卵数：54231.10910QQ(333)32(4(4))3QNtNtrNtrQNtNtrQ((33)2(44))*3NtNtrNtNtrQ求来年1龄鱼的数目，即卵成活率：111101.2210/(1.2210)NiQQ1111(((33(44)31.2210(1.2210)NtNtrNtNtrQQ3、4龄鱼的捕捞强度为K：4KNi4r))*(240*Nt4)-(Ni4-Nt4)-((Ni430.424KK4、模型建立：(求保证产卵量一定时，在什么样的捕捞调节系数下，W最大)○1在不追求可持续捕捞下：1(0.4217.86(((44)))22.99WitKNiNt○2在追求可持续捕捞情况下，加入调节系数：6()1((33)17.86(44)22.99)MaxWWKcNiNtKcNiNtKc表示在追求可持续发展（产卵量）的情况下放回多少3龄鱼和4龄鱼的比例。KcYXQ3*Y)*2+(XQMax）22.99*Y+17.86*X（MinW解得：X=2.006*10^5Y=6.889*10^5Kc=0.295、约束条件：((Nt3-Nt3*r)+2*（Nt4-Nt4*r))*Q3≥QNt3=(0.58K*((Ni3-Nt3))+Kc*(Ni3-Nt3)Nt4=(K*（Ni4-Nt4)+Kc*(Ni4-Nt4)）Max(W)≤W12.问题二1、第一种假设：每年捕捞的强度系数都在固定波动范围内（Ki=90%K）模型建立：在可持续发展的条件下，我们加入了捕捞调节系数Kc，求得捕捞起来的鱼的总重量W3=(0.42*t*Ni3*(1-r*240)-Kc*0.42*t*Ni3(1-r*240))*17.86W4=(t*Ni4*(1-r*240)-Kc*t*Ni4(1-r*240))*22.99W总=W3+W4产卵数决定了来年1龄鱼的数量，求得捕捞过后的产卵数Q4=2*Q3Q=（Ni3-0.42*T0*Ni3*（1-r*240）+Kc*0.42*T0*Ni3*（1-r*240））*Q3*（1-r*120）+（Ni4-T0*Ni4*（1-r*240）+Kc*T0*Ni4*（1-r*240））*Q4*（1-r*120）存活的产卵数即来年1龄鱼的数目为：Ni1=Q*（1.22*10^11/（1.22*10^11+Q））*（1-r*120）来年4龄鱼的数量为当年3龄鱼剩下的数量与当年4龄鱼剩下的数量之和Nt3=(Ni3-0.42*T0*Ni3(1-r*240))*(1-r*120)7Nt4=(Ni4-T0*Ni4(1-r*240))*(1-r*120)约束条件：Ni1:Ni2:Ni3:Ni4=Q:(≈Ni1*(1-r*360)):(Ni2*(1-r*360)):(Nt3+Nt4)=122：29.7：10.1：3.292、第二种假设：每年的捕捞系数不一样，但是最终5年后，能保证渔场的生态不受影响。即鱼群的数量122,29.7,10.1,3.29(×109条）这个范围内（大于90%）2.1可求得第五年产卵数和剩下的3，4龄鱼，1.22*11^11=Q*1.22*10^11/(1.22*10^11+Q)Q(5)=(N3(5)-N3(5)*r*120)*Q3+2*（N4(5)-(N4(5)*r*120)*Q3=((N3(5)-N3(5)*r)+2*（N4(5)-N4(5)*r))*Q33.29*10^9=N3(5)-N3(5)*r*365+N4(5)-N4(5)*r*3652.2第六年的3龄鱼是第五年的2龄鱼，第四年的1龄鱼，第三年的产卵数：10.1*10^9=N2(5)-N2(5)*r*365N2(5)=N1(4)-N1(4)*r*365Q(3)=(N3(3)-N3(3)*r*120)*Q3+2*（N4(3)-(N4(3)*r*120)*Q3=((N3(3)-N3(3)*r)+2*（N4(3)-N4(3)*r))*Q3N1(4)=Q(3)*1.22*10^11/(1.22*10^10+Q(3))(第三年的3，4龄鱼，第六年，在自然死亡率下，全死亡)2.3第六年的2龄鱼是第五年的1龄鱼，第四年的产卵数：29.7*10^9=N1(5)-N1(5)*r*365Q(4)=(N3(4)-N3(4)*r*120)*Q3+2*（N4(4)-(N4(4)*r*120)*Q3=((N3(4)-N3(4)*r)+2*（N4(4)-N4(4)*r))*Q3N1(5)=Q(4)*1.22*10^11/(1.22*10^10+Q(4))2.4第六年的4龄鱼是由第五年的3龄鱼和捕捞剩下的4龄鱼组成，可以由第五年打捞量来调节保证第六年4龄鱼的数量。2.5第一年的1龄鱼，是第二年的2龄鱼，是第三年的3龄鱼，第四年的4龄鱼：N1(1)=1.22*10^11N2(2)=N1(1)-N1(1)*r*3658N3(3)=N2(2)-N2(2)*r*365Q(3)=(N3(3)-N3(3)*r*120)*Q3+2*（N4(3)-(N4(3)*r*120)*Q3N1(4)=Q(3)*1.22*10^11/(1.22*10^10+Q(3))N4(4)=0.58K*N3(3)-N3(3)*r*1202.6第一年的2龄鱼，是第二年的3龄鱼，是第三年的4龄鱼：N2(1)=29.7*10^9N3(2)=N2(1)-N2(1)*r*365Q(2)=(N3(2)-N3(2)*r*120)*Q3+2*（N4(2)-(N4(2)*r*120)*Q3N1(3)=Q(2)*1.22*10^11/(1.22*10^10+Q(2))2.7第一年的3龄鱼