浅谈积分在几何中的应用

1浅谈积分在几何中的应用学生姓名:张芳芳学号:20085031252数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师:沈明辉职称:博士摘要:积分在几何中的应用多种多样且技巧性强,为使学生灵活运用,熟练运用积分求几何图形中的体积和面积,本文将数学分析中积分在几何中的应用系统的进行了归纳.分析积分在几何中应用范围和方法:由积分求面积,由积分求体积,.它对快速了解并应用积分求几何有一定的意义.为了便于学生对定积分在几何中的应用易掌握，作者通过多年的教学经验研究出了一种形象、直观、易懂的教学方法：通过图形来选择定积分的上（下）限、积分变量、被积函数，最后求出图形的面积或体积。关键词:二重积分;三重积分;定积分OnthecalculationofindefiniteintegralAbstract:IndefiniteIntegralmethodofcalculatingavarietyofskillsandstrong,Toallowflexibilityintheuseofstudents,skilledchoiceofintegrationmethodforcalculatingtheindefiniteintegral,Inthispaper,mathematicalanalysisofvariousmethodsofcalculatingtheindefiniteintegralofthesystemissummarized.Analysisofthefourbasicindefiniteintegralsolution:directintegration,thefirstelementmethodfor,elementmethodforthesecondcategory,IntegrationdivisionItsindefiniteintegralquicklysolvingacertaindegreeofsignificance.Keywords:IndefiniteIntegral；forintegral；distributionpoints引言正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样.微分也有其逆运算积分法.它是研究求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。这个问题的提出首先是因为它的出现在许多实际问题之中。例如，已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点的斜率（或某一点的斜率所满足的条件）求曲线方程等。而这些问题的解决都与大家的日常生活息息相关。研究不定积分的方法,以后对生活,科研都有很大作用.21.预备知识1.1原函数及不定积分的概念⑴)(xF是函数)(xf的一个原函数，是指对定义在区间I内的已知函数)(xf，如果存在可导函数)(xF，使对于任意的Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(．⑵)(xf的不定积分，是指)(xf的全体原函数CxF)(（C为任意常数）记作CxFdxxf)()(⑶原函数存在定理:连续函数一定有原函数.1.2不定积分的性质⑴)())((/xfdxxf⑵dxxfdxxfd)()(⑶Cxfdxxf)()(/⑷CxFxdF)()(⑸dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()]()([21212.运用积分的求体积的方法及举例2.1由平行截面面积求体积设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面xa与xb之间()ab。为方便起见称为位于[,]ab的立体。若在任意一点[,]xab处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积显然是x的函数，记为()Ax，[,]xab，并称之为的截面面积函数。由截面面积函数求的立体体积的一般公式为：()baAxdx。例一：求由两个圆柱面222yxa与222xaz所围立体的体积。2.2换元积分法2.2.1第一类换元积分法:㈠定义：3设f(u)具有原函数F(u),即_F'(u)=f(u),()()fuduFuc.设u为中间变量:()ux,()x可微,则根据复合函数微分法,有[()][()]'()dFxxxdx.根据不定积分的定义,就有()[()]'()[()][()]uxfxxdxFxcfudu.即简化为：设f(u)具有原函数,()ux可导,则有换元公式()[()]'()[()]uxfxxdxfudu㈡第一换元积分法（凑微分法）主要是处理复合函数求积分的方法,它的基本思想是“变换积分变量,使新的积分对于新的积分变量好求原函数”,采用的手段是“凑微分”,将xxfd)(凑成xxxfd)()]([,如果说被积函数可以凑成)()]([xxf这样两个因子的乘积（其中一个是)(x的函数,另一个是)(x的导数）,方可使用第一换元积分法.㈢用第一换元法的目的：求出积分,因此,换元以后的积分()[()]'()[()]uxfxxdxfudu必须容易求出积分.一般地,换元后的函数)(uf是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式.㈣例题：例1:求132dxx解:令23ux,则原积分=111111ln|||23|2222duduucinxcuu例2:求23(2)xdxx解:令2ux,则原积分=2231233(2)(44)(44)uduuuuduuuuduu12242ln||42ln|2|2(2)uuucxcxx㈤方法总结题型：⑴1()()()faxbdxfaxbdaxba;(a0)⑵11()()()nnnnfxxdxfxdxn;4⑶11111()()()()nnnnnnnfxdxfxxdxfxdxxxnx;⑷()()xxxxfeedxfede;⑸1(ln)(ln)lnfxdxfxdxx;⑹2(tan)sec(tan)tanfxxdxfxdx;(7)222222111111()arctan1()1()bxbxdxdxdcbxbxabxaabaabaaa;⑻2222222111111()2()bdxdxdxaaabaxbbaxxxbbb11lnln22bxaxbaccbababaxbxa⑼22221111()arcsin1()bxbxdxdcbababxabxa；⑽212sincossincoscosknknxxdxxxdx2(1cos)coscosknxxdx⑾2122sincossincossinsin(1sin)sinknknknxxdxxxdxxxdx；⑿22111sincos[(1cos2)][(1cos2)]()(1cos2)(1cos2)222llklkklkxxdxxxdxxxdx⒀22tansectan(1tan)nknkxxdxxxdx；⒁21221tansectansectansecknknxxdxxxxxdx211(sec1)secsec()knxxdxkN⒂1sinsin[sin()sin()]2mxnxdxmnxmnxdx11sin()sin()22mnxdxmnxdx11cos()cos()2()2()mnxmnxcmnmn5⒃1sincos[sin()sin()]2mxnxdxmnxmnxdx11cos()cos()2()2()mnxmncmnmn⒄1coscos[cos()cos()]2mxnxdxmnxmnxdx11sin()sin()2()2()mnxmnxcmnmn2.2.2第二类换元积分法（变量代换法）：㈠定义：设()xt是单调、可导函数，并且'()0t，又设[()]'()ftt具有原函数，则换元公式1()()[[()]'()]ttfxdxfttdt，其中1()x是()xt的反函数㈡例题：⑴求222abxdx解:令tanaxtb，22(,)t，则原积分=22222sincoscosaaaattdttdtbb=221cos2(2)(sin2)44atadtttcbb222222(arcsin)4abxbxabxcbaa⑵求2221dxbxa（a0）解：令tanaxtb，22(,)t，则原积分=22211secsecsecln|sectan|aattdttdtttcbbb2221111ln||(ln)bxabxcccabb⑶求2221(0)dxabxa解：令22(,)x，6则原积分=22211111ln|sectan|ln||(ln)ttcbxbxacccabbb2.3分部积分法㈠定理：（分部积分法）若()ux和()vx可导，不定积分'()()uxvxdx存在，则()'()uxvxdx也存在，并有()'()()()'()()uxvxdxuxvxuxvxdx简写为：'udvuvuvdx㈡规律：如果u和v选取不当就求不出结果，所以应用分布积分公式时恰当的选取u和v是关键，选取u和v一般要考虑以下两点：（1）v要容易求得；（2）'uvdx要比udv容易积出（3）对于积分uvdx,u、v哪个函数放进d里面呢1.幂函数与三角函数相乘(把三角函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平)2.幂函数与指数函数相乘(把指数函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平)3.幂函数与对数函数相乘(把幂函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平)4.三角函数与指数函数相乘(把三角函数积到d里,若等号两边不平,并进行配平)㈢例题：①cossinsinsincosxxdxxxxdxxxxc；②221arctantantanarctanarctanln(1)12xxdxxxxdxxxdxxxxcx③443lnln()(4ln1)416xxxxdxxdxc；④求1cosaxIebxdx和2sinaxIebxdx解：12111cos()(cossin)(cos)axaxaxaxIbxdeebxbebxdxebxbIaaa；2111sin()(sin)axaxIbxdeebxbIaa；{1212cossinaxaxaIbIebxbIaIebx；解之得：122sincoscosaxaxbbxabxIebxdxecab7222sincossinaxaxabxbbxIebxdxecab⑤sinsinsincossin(cossin)axxxxxxxexdxxdeexxdeexexexdx所以，1sin(sincos)2xxexdxexxc。2.4有理函数和可化为有理函数的不定积分㈠定理（有理函数的不定积分）：两个多项式的商称为有理函数，又称有理式。当分子的次数小于分母的次数时称为真分式，否则称为假分式。有理函数110110()()()nnnnnnnnaxaxaPxRxQxbxbxb当n=m,假分式=多项式+真分式;当nm,真分式----若干个分式之和;㈡求解有理函数的不定积分方法：第一步：对分母()Qx在实系数范围内分解：11212()()()()11()ststtQxxxxpqxpqaa第二步：根据分母的各个因式分别写出相应的部分分式：对每个形如()kxa的因式，它所对应的部分分式是122()()kkxaxaxaAAA对每个形如2()kxpq的因式，它所对应的部分分式是