浅谈线性规划问题

浅谈线性规划问题线性规划问题在高考中常以选择题或填空题的形式出现,近几年线性规划问题已经逐步成为高考的一个新热点，它以其实用性、工具性和交互性，备受人们的关注.题型也越来越开放，从单一的、静态的线性规划发展到较全面的、动态的线性规划.常有一些综合性、探索性等新型试题出现，题目不仅突出了对基本知识的考查,也对学生综合运用知识的能力提出了更高的要求,即使是应用性问题也会以该种题型出现。从历年的出题规律来看，选择题的最后一道题应该是选择题的压轴题，也就是说无论是综合性、还是难易程度都要比其它选择题高出一筹。从这一道题我们既能看出出题者的水平，又能用其来衡量考生的解题能力。笔者选了两道有关线性规划的“亮题”，其知识背景都是线性规划与其他知识相交汇的问题，这两道题都恰到好处的扮演了选择题压轴题的脚色，具备了综合性与能力考查的双重功效，是上乘的好题。在回味试题的同时，我们目前所最为需要的是从中能否窥视出其中高考试题的出题的动向，或者从中是否可得到某种启示。下面我们先来对这两道试题作一下分析与对比，在从中掌握两类问题的解答方法，进而对今后的考查题型作出预测。一．例1（线性规划与均值不等式知识相交汇求最值的问题）设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则23ab的最小值为().A.625B.38C.311D.4【分析】：本题告诉目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，实际上是告知关于a与b的一个约束条件，即a与b的一个方程。结合题中最后所求结果：23ab的最小值。熟悉利用均值不等式求最值题型的同学就会明白，这是一道有约束条件的利用均值不等式求最值的问题。【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,于是2a+3b=6。正是因为方程“2a+3b=6”的出现，才为下面求最值创造了条件，这种线性规划与均值不等式的巧妙配合，才是这道题的亮点。而23ab=2323131325()()26666abbaabab，故选A.答案:A【点评】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.x22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0二．例2（线性规划与指数函数知识相交汇的问题）设二元一次不等式组0142,080192yxyxyx，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是().（A）[1,3](B)[2,10](C)[2,9](D)[10,9]【分析】：由题设所给条件我们并不难得到解决问题方法：数形结合，也就是说要画出平面区域M以及函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像，通过图像的分析对比找到参数a的限制条件。所给函数y＝ax(a＞0，a≠1)为底数是参数的指数函数，要通过数形结合的方式观察函数y＝ax(a＞0，a≠1)图像通过区域M的情况就必须讨论a或确定a。【解析】:如图阴影部分为平面区域M，可求得A10,2、B(1,9)、C(3,8)。因为点B的横坐标为1，由图像可知，欲满足条件必有1a，且函数y＝ax的图像在过B、C两点的图像之间。当图像过点B时，91a，所以9a；当图像过点C时，83a，所以2a故a的取值范围是[2,9]，故选C。【点评】:从以上解答过程我们可以看到，除了线性规划知识外，xyOABC2x+y-14=0X+2y-19=0x-y+8=0在解答中还用到了：数形结合思想、分类讨论思想、指数函数的性质。真是“麻雀虽小，但是五脏俱全”阿。三．题型预测1．线性规划与平面向量知识相交汇的问题1.已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,yxMCBAOxOy动点中满足条件,21,22OBOMOAOM则OCOM的最大值为（）A．1B．0C．3D．4【解析】可行域为2222,212xyOMOCxyzxyxy即求的最大值，当点(2,0)M时，2zxy取最大值4，选D．2．线性规划与解析几何知识相交汇的问题2.已知点(,)Pxy满足1023-504310xxyxy≤≤≥，点(,)Qxy在圆22(2)(2)1xy上，则PQ的最大值与最小值为（）A.6,3B.6,2C.5,3D.5,2【解析】设圆心(2,2)C，直线23-50xy=与4310xy=的交点为(2,3)，画出可行域。①当点Q在PC的延长线上时，PQ取最大值为6；②当点在直线4310xy=上，且PC与该直线垂直时，Q点在PC上时，PQ取最小值为2，选B。3．线性规划与函数、不等式知识相交汇的问题3.已知函数bxaxxf2)(，且1)1(1,3)1(1ff，求)2(f取值范围．【解析】：由已知得1131baba，点),(ba所在的区域如图所示，baf24)2(在（0,1）和(2,1)达到最值,即范围为：10)2(2f。.线性规划的问题虽然有时难以琢磨，但是我们也应该有一定之规，来以不变应万变，那就是第一，巧用特殊值找到突破口，作选择题,特殊值法是一种上好的解法,省时高效,线性规划问题更是离开不得，.第二，灵活使用转换思想，数学中我们经常使用转换思想,线性规划一定是通过几何关系反映变量间的关系，这就是题眼，找到变量关系，才能把它拆解开它与那些知识交汇，从而找到应对办法，数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，也应该注意横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通，只要勤加练习，再高深莫测的题我们也一定会应对得法的。浅谈线性规划问题大石桥二高中毕文杰