最大子矩阵问题

学习材料：王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩阵问题》【最大子矩阵问题】在一个给定的矩形中有一些障碍点，找出内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的最大子矩形。【定义子矩形】有效子矩形：内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的子矩形。极大子矩形：每条边都不能向外扩展的有效子矩形。最大子矩形：所有有效子矩形中最大的一个（或多个）。【极大化思想】在一个有障碍点的矩形中最大子矩形一定是极大子矩形。设计算法的思路：枚举所有的极大子矩形，找到最大子矩形。设NM分别为整个矩形的长和宽，S为内部的障碍点数。【算法1】时间复杂度：O（S^2）空间复杂度：O（S）由于极大子矩形的每一条边都不能向外扩展，那么极大子矩阵的每条边要么覆盖了障碍点，要么与整个矩形的边界重合基本算法：枚举上下左右四个边界，然后判断组成的矩形是否是有效子矩形。复杂度：O（S^5）可以改进的地方：产生了大量的无效子矩形。初步改进的算法：枚举左右边界，然后对处在边界内的点排序，每两个相邻的点和左右边界组成一个矩形。复杂度：O（S^3）可以改进的地方：枚举了部分不是极大子矩形的情况。综上，设计算法的方向：1、保证每一个枚举的矩形都是有效的。2、保证每一个枚举的矩形都是极大的。算法的过程：枚举极大子矩形的左边界——根据确定的左边界，找出相关的极大子矩形——检查和处理遗漏的情况(1)按照横坐标从小到大的顺序将所有的点编号为1，2，3...(2)首先选取1号点作为要枚举的极大子矩形的左边界，设定上下边界为矩形的上下边界(3)从左到右扫描，第一次到2号点，确定一个极大子矩形，修改上下边界；第二次找到3号点，以此类推。(4)将左边界移动到2号点，3号点，，，以同样的方法枚举遗漏的情况：1、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合。解决方法：用类似的方法从左到右扫一遍2、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合，且矩形的右边界与整个矩形的右边界重合。解决方法：预处理时增加特殊判断。优点：利用的极大化思想，复杂度可以接受，编程实现简单。缺点：使用有一定的局限性，不适合障碍点较密集的情况。【算法2】时间复杂度O(NM)空间复杂度O(NM)定义有效竖线：除了两个端点外，不覆盖任何一个障碍点的竖直线段。悬线：上端覆盖了一个障碍点或者到达整个矩形上边界的有效线段。每个悬线都与它底部的点一一对应，矩形中的每一个点（矩形顶部的点除外）都对应了一个悬线。悬线的个数=(N-1)*M；如果把一个极大子矩形按照横坐标的不同切割成多个与y轴平行的线段，那么其中至少有一个悬线。如果把一个悬线向左右两个方向尽可能的移动，那么就得到了一个矩形，我们称它为悬线对应的矩形。悬线对应的矩形不一定是极大子矩形，因为下边界可能还可以向下扩展。设计算法：原理：所有悬线对应矩形的集合一定包含了极大子矩形的集合。通过枚举所有的悬线，找出所有的极大子矩形。算法规模：悬线个数＝(N－1)×M极大子矩形个数≤悬线个数具体方法：设H[i,j]为点(i,j)对应的悬线的长度。L[i,j]为点(i,j)对应的悬线向左最多能够移动到的位置。R[i,j]为点(i,j)对应的悬线向右最多能够移动到的位置。！考虑点(i,j)对应的悬线与点(i-1,j)对应的悬线的关系（递推思想）：如果(i－1,j)为障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线长度1，左右能移动到的位置是整个矩形的左右边界。即H[i,j]＝1,L[i,j]=0,R[i,j]=m如果(i－1,j)不是障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线长度为(i-1,j)对应的悬线长度＋1。即H[i,j]＝H[i-1,j]+1•如果(i－1,j)不是障碍点，那么，如图所示，(i,j)对应的悬线左右能移动的位置要在(i-1,j)的基础上变化。L[i-1,j]L[i,j]=max(i-1,j)左边第一个障碍点的位置•同理，也可以得到R[i,j]的递推式R[i-1,j]R[i,j]=min(i-1,j)右边第一个障碍点的位置优点：复杂度与障碍点个数没有直接关系。缺点：障碍点少时处理较复杂，不如算法1。代码实现具体见WC2002奶牛浴场（算法1）codevs1159最大全0子矩阵（算法2）