浅谈行列式的计算方法

1浅谈行列式的计算方法行列式的计算是一个重要的问题，也是一个复杂的问题，对于低阶行列式，我们可以直接利用定义、公式、性质等方法进行计算．但对于一般的n阶行列式计算就比较困难，所以研究n阶行列式的计算方法是十分必要的．本文通过例子介绍了行列式的计算方法．一、特殊行列式法1．定义法当行列式中含零较多时，定义法可行．例1计算n级行列式000000000000D.解：按定义，易见121,2,,,njjjn或1212,3,,,1nnjjjnj.得1(1)nnnD2．三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式．nnaaaaaa000n222n11211＝nnnnaaaaaa21221211000112233nnaaaa例2计算n级行列式1231131211231nnxnDxnx解：将nD的第(2,3,,)iin行减去第一行化为三角形行列式，则2123010000200001(1)(2)(1)nnxDxxnxxxn3．爪形行列式法例3计算行列式0121122000000nnnabbbcaDcaca0,1,2,inia解:将D的第i+1列乘以（iiac）都加到第1列ni,2,1，得101212000000000niiniinbcabbbaaDaa＝011()nniiiiiibcaaa4．范德蒙行列式法123222212311111231111nnnnnnnaaaaDaaaaaaaa1()ijjinaa例4计算n阶行列式222212333331231231111nnnnnnnxxxxDxxxxxxxx解：利用D构造一个1n阶范德蒙行列式312222212121111()nnnnnnnxxxxgxxxxxxxxx多项式()gx中x的系数为3(1)nD，而()gx又是一个范德蒙行列式，展开后x的系数为1)1(n12132nnxxxxxxnijjixx1)(，两者应相等，故23121nnDxxxxxxnijjixx1)(当021nxxx时，还可写成12nDxxx)11(1nxxnijjixx1)(二、连加法若行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法．例5计算n阶行列式xaaaxaDaax解：它的特点是各列元素之和为xan)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出xan)1(，得[(1)]Dnaxxaaaxa111将第一行乘a分别加到其余各行，化为三角形行列式，则4[(1)]Dnaxaxax0000111＝[(1)]nax1)(nax三、加边法为了计算行列式，有时需要将它的阶数放大，使升阶后的行列式易于计算，从而求出原行列式．这种方法叫加边法，也叫升阶法．例6计算n阶行列式123naxxxxaxxDxxaxxxxa解：加边得121000nxxxaxxDxaxxxa第一行乘以（-1）分别加到其余各行，化为爪形行列式121100100100nxxxaxDaxax＝xaxaxaxxxxaxnnii0000000001211＝)11(1niixaxniixa1)(5＝)1(1niixaxniixa1)(四、递推法这是解决具有对称关系的行列式的计算方法．例7计算n阶行列式nD＝10000010001000解：按第一行展开，得nD＝21)(nnDD即nD)(211nnnDDD由此递推，即得nDnnD1①由于nD中与对称，则有nDnnD1②当时，由①，②得nD＝11nn当时，nD＝1nnD＝)(21nnnD＝222nnD11)1(Dnnn＝nn)1(五、数学归纳法利用数学归纳法进行行列式计算，主要利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再进行证明．例8计算2n阶行列式nD2＝nnnndcdcbaba11116解：当1n时，2D1111abcd＝1111cbda当2n时，4D22111122ababcdcd＝))((22221111cbdacbda于是猜想nD2＝niiiiicbda1)(下面用数学归纳法证明（1）当1n时，显然成立（2）假设当nk时成立，即kD2＝kiiiiicbda1)(当1nk时，将)1(2kD按第一列展开，易得)1(2kD＝)(1111kkkkcbdakD2由归纳假设kD2＝kiiiiicbda1)(，故得)1(2kD＝11)(kiiiiicbda所以猜想成立．即nD2＝niiiiicbda1)(例9计算n级行列式cos210001cos200000cos210001cos210001cosnD解：易见2cos,cos21DD,于是猜想nDncos.下面对阶数n用第二数学归纳法证明.1n时,结论成立.假设对阶数小于n时，结论成立.将nD按第n行展开，有7nnnnnnnDDDDnnnnnnnncos])1cos[(sin)1sin(cos)1cos()1cos(cos2)2cos()1()1cos(cos2)1(cos2110000cos200000cos210001cos210001cos)1(cos21221211121所以猜想成立．六、拆行（列）法（难）一般地，当行列式的一行（列）的元素能有规律地表示成两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例10计算n阶行列式xyyyzxyyDzzxyzzzx解：①当zy时，易用加边法求得D＝1)(nyxynx)1(②当zy时，将D的第n列每个元写成两数之和0yy，)(yxyx则xyyzxyDzzy+yxzzzyxzyyx00＝1()nMxyD其中xyyzxyMzzy，将M最后一行乘以（-1）分别加到其余各行．再8按第n列展开得1()nMyxz，于是有nD＝1)(nDyx+1)(nzxy①由于D中,yz的地位对称，于是有nD＝1)(nDzx+1)(nyxz②由①，②得nD＝zyyxzzxynn)()(七、因式分解法如果行列式D是某个变数x的多项式)(xf，可对行列式施行某些变换，求出)(xf的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(xg，则)()(xcgxfD，再比较)(xf与)(xg的某一项的系数，求出c值.例11计算行列式1231131211231nnxnDxnx解:注意1x时，,0nD所以，(1)|nxD.同理)1(,,2nxx均为nD的因式又ix与)(jijx各不相同，所以nDnxxx|)1()2)(1(但nD的展开式中最高次项1nx的系数为1，所以)1()2)(1(nxxxDn行列式的计算方法除上述外还有许多种，如辅助行列式法，析因子法等，只不过上述方法常见常用而已．