浅谈逆矩阵的求法3

浅谈逆矩阵的求法论文所在系：数学系老师：熊老师年级：10数本（1）学号：201040431036姓名：谢明静浅谈逆矩阵的求法论文摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、用克莱姆法则求解、行列式法、恒等变形法、利用Hamiton_Caley定理法、拼接新矩阵等多种方法求逆矩阵,并对部分进行了简要论证.关键字：逆阵法；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵1、逆矩阵的概念定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.2、矩阵可逆的条件（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（也即r（A）=n）；（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.3、逆矩阵的性质设A，B是n阶可逆矩阵，则（1）（A-1）-1=A；（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=1kA-1；（3）AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1；（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；（6）|A-1|=|A|-1；（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）.4、求矩阵逆的方法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为1A-1.例1：设A为n阶矩阵，且满足22A-3A+5E=0，求A-1.【解】222-12A-3A+5E=02A-3A=-5E23-A-A=E552323A(-A-E)=-A-E=E555523AA=-A-E55可逆且方法2伴随矩阵法：A-1=1|A|A*.定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且11211122221121nnnnnnAAAAAAAAAAA其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=1|A|A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122aaAaa，其伴随矩阵22122111*aaAaa,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325，求A-1.【解】∵|A|=2≠0∴A可逆.由已知得2111213212223313233A=-5,A=10,A=7A=2,A=-2,A=-2A=-1,A=2,A=1A-1=1|A|A*=5115212211022511272171122方法3初等变换法：1AEEA初等行变换注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵.③当矩阵A可逆时，可利用11EABEA,CABCA初等行变换初等列变换求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A-1B或CA-1.例3:设001110,101A设求1.A解：001|100101|001101|001,110|010110|01001-1|01-1101|001001|100001|100AI101|001100|-101010|01-1010|11-1.000|100000|100于是1-10111-1.100A方法4用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：1111111111111111AA000B0COAAACBAOAOBDBOBBDABBOAOBBOAO3例4：已知0052002112001100A，求A-1.【解】将A分块如下：120052002112001100OAAAO其中125212,2111AA可求得1*1*1122121212111,2511||||3AAAAAA从而1121112003311003312002500OAAAO方法5解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例5：求1000120021301214A的逆矩阵.【解】设21131324142431000100210314XAXXXXX,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素213243X,X,X,4再求3142X,X，最后求41X.设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到414243433132434142434241424343110X0X3X0;,X;412211X1X100;,X;32250X2X1X0;,X;44111X1X2X0;,X48解得解得解得解得。于是,所求的逆矩阵为:110001100221110263151184124A方法6用克莱姆法则求解：若线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式||0ijnDa，则此方程组有唯一的一组解1212,,,nnDDDxxxDDD.这里iD是将D中的第i列1,,iniaa换成1,,nbb得到的行列式.定理1若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).定理2两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由克5莱姆法则可得唯一解:εj=Dj/D=bj1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得:BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).下面举例说明这种方法.例6：求可逆矩阵121310102A的逆矩阵.【解】矩阵A的行向量为123,,，由标准基123,,表示为：1123212313232解以123,,为未知量的方程组得：1123212331232419992113331259991241999211333125999A该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:由：1123212313232得：123112213323令123121310102AA是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对A施行矩阵的行的初等变换得:123123123241999100211010333001125999A1241999211333125999A方法7恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.6例8：已知6AE，试求11A并证明111AA,其中13223122A.【解】由6AE得到666611AAAAEAAE故111AA,而A又为正交矩阵,1AA’从而11113223122AA方法8用Hamilton-Caley定理求逆矩阵：Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵11E-Annnnfaaa为A的特征多项式，则：11E-A0nnnnfAAaAaAaE于是12111nnnnAaAaEa因此112111nnnnAAaAaEa例8：已知224232111A，求A-1.【解】A的特征多项式32E-A4710f由Hamilton-Caley定理知：3247100fAAAAE125216114702410105010AAAE参考文献:[1]任宪林.求逆矩阵的一个新方法[J].职大学报(自然科学版),2004,(02).[2]张玉成.求逆矩阵的另一种方法[J].深圳教育学院学报(综合版),2002,(01).[3]王建锋.求逆矩阵的快速方法[J].大学数学,2004,(01).[4]李桂荣.关于求逆矩阵方法的进一步探讨[J].德州高专学报,2000,(04).[5]许莉.试谈求逆矩阵的方法[J].承德民族师专学报,1997,(02).[6]高明.逆矩阵的求法[J].阴山学刊(自然科学版),2006,(02).[7]连文星,刘爱荣.求逆矩阵最简新方法[J].河南教育学院学报(自然科学版),1997,(03)[8]徐仲.陆全.张凯院.