浅谈高中生数学学习思维障碍分析与对策

高中生数学思维障碍的初步探究【摘要】在平时的数学教学中，我们也注重对数学思维培养，但是我们发现学生在解题时，往往会出现一些错误与疏漏，我们常常把产生这种现象的原因简单地归咎于学习不认真。然而，在教学过程中发现：数学成绩欠佳的那些学生，除了少数学习不努力，还有多数学生的学习动机，学习态度都很好，因此这种形式化的总结不是主要原因。这就促使我们不得不从学习方法，尤其是思维方式上找原因。本文通过对高中生数学思维障碍的形成原因及具体表现进行分析，并提出一些有针对性的策略。【关键词】高中生、数学思维、数学思维障碍在整个高中学习过程中，有的同学在数学学习上花了很多时间，投入了很多精力，但数学成绩没有提高，慢慢的对自己的能力产生了怀疑，对数学失去了信心，长此以往，在数学学习中形成了一定的思维障碍，因此研究高中生的数学思维障碍，对于增强高中数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。一、高中生数学思维障碍的形成原因根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。二、高中生数学思维障碍的具体表现由于高中数学是建立在小学、初中数学教学的基础上的，而作为个体的学生的数学基础、思维方式、习惯也各不相同，所以数学思维障碍表现也各不相同，具体来说有以下几种：1．数学思维的表象性由于高中数学概念的抽象性，学生在学习过程中，对于知识发生的过程不会主动地进行深入的理解和思考，对知识的理解仅仅停留在理解的表象层面上，不太可能形成抽象的概念理解，所以对知识的理解不可避免地存在片面性，不容易去把握事物的本质。例：已知实数x、y满足1)3(2)1(222yxyx，则点P(x,y)所对应的轨迹为（）（A）圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线。在复习圆锥曲线时，我拿出这个问题后，学生一着手就简化方程，化简了半天还看不出结果就再找自己运算中的错误（怀疑自己算错），而不去仔细研究此式的结构2/1)3()1(22yxyx进而可以看出点P到点（1，3）及直线x＋y＋1=0的距离相等，从而其轨迹为抛物线。2．数学思维的不完整性数学思维讲究的是思维的严谨性和推理的严密性。但高中学生的认知结构正处于形成阶段，不可避免地存在思维的不严密性。对问题的解决易受原有认知结构的影响，习惯于去套用现成的解题模式。例如在数列的求和教学中：求和S=23231111nnxxxxyyyy绝大部分的同学给出这样的答案：)1...11()...(22nnyyyxxxS1111)1(11)11(11)1(yyxxxyyyxxxnnnn虽然抓住了条件中各项的特征，但对于等比数列前n项和使用的条件：各项均不等于零，公比不为1没有去作深入探讨，对问题结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。3．数学思维定势的消极性经过多年的数学学习，高中生已经有了较丰富的解题经验，初步形成了自己的思维方法和思路，所以在问题的解决中往往从以往的解题经验中出发，套用原有的思路，对自己的思维方法深信不疑，不能根据新的对象的特点作出正确的判断，阻碍了新的更合理有效的认知结构的建立，当然不能适应高考选拔性考试的要求。例如在立体几何的入门中，一提到两直线垂直，马上就意识到两直线相交。又如：复数方程所表示的轨迹是什么？可能会有不少学生不假思索的回答是椭圆，理由是根据椭圆的定义。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。422iZiZ由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。三、高中生数学思维障碍的突破1.夯实学生的数学基础，培养学生的学习兴趣在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：1〉求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋12〉求函数y=x2－2ax＋a2＋2，x∈[0，3]时的最小值。3〉求函数y=x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，培养学生的学习兴趣。又如“已知椭圆C:12422yx,直线l：),(Rbabaxy（1）请你具体给出,ab的一组值，使直线l和椭圆C相交：（2）直线l和椭圆C相交时，,ab应满足什么关系？(3)若1ab，试判断直线l和椭圆C的位置关系；(4)请你添加一个合适的条件，求出直线l的方程；(5)先将题目中的椭圆方程改为双曲线方程12422yx，或改为抛物线方程xy42，再在第（4）问添加的条件中选择一个，求出直线l的方程。”这个例子设计的最大特点就是层次性和思维的开放性，首先设计了低起点、坡度小的第一问，使不同思维层面的学生都能积极探究，而在解题中，部分直观感强的学生会借助直线和椭圆相交的图形找出符合条件的一组,ab的值，而另一部分学生会通过代数方法利用一元二次方程找出,ab的关系，再找出符合条件的一组,ab的值。第一问的答案显然不唯一，从而学生就有了探究一般情况的欲望；紧接着老师就利用第二问，引导学生探究直线与椭圆相交时,ab关系的一般情况，这就能培养学生养成从特殊到一般的探究思维；而第三问的提出又呼应了第一、二问，它既可以利用图形来解决，也可以利用前面第二问求出的代数方法来解决，进一步让学生经历从一般到特殊的思维过程，这就是数学思想的核心：特殊化与一般化。而第四问的设计，既能巩固学生前面所掌握的基础知识（包括弦长公式、终点坐标公式等等），又能调动不同层次的学生参与，使他们的思维得到进一步锻炼。而第五问在前面四问已形成的知识结构的基础上，转换数学问题的背景，扩展了解题方法的应用领域，进一步加深了学生对解题原理的理解，真正明了知识之间的联系和规律，使他们的思维层次进一步得到提升。所以问题的设置一定要有层次性，既注重学生的基础知识，又努力挖掘学生的潜力，从而达到高效课堂。2.重视数学思想方法的教学，提高学生的数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2＋y2＝25，求u=50685068xyxy的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：2222)4()3()4()3(yxyxu转而构造几何图形容易求得u∈[6，610]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除学生的思维定势在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。例如：一元二次方程x2－3x－4=0和x2－5x＋7=0的所有的根的和为错解：所有的根之和为：3＋5=8，错误分析：如果只看题目的表面，就可以利用根与系数的关系分别求出两方程的两根之和为3和5，这种解法忽视了方程x2－5x＋7=0中Δ0的隐含条件，也就是说方程x2－5x＋7=0是没有实数根的，由于隐含条件挖掘不到位而出了错。像这种利用隐含条件解题的数学问题非常多，要较好的解决这种题目，学生必须具有较好的基础和比较敏锐、缜密的数学思维，而培养这些能力的主要形式是课堂学习。使学生暴露观点的方法很多。例如，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会“按部就班”的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好的方法解决问题的习惯，发展思维的创造性也是突破学生思维障碍的一条有效途径。当然，突破学生的数学思维障碍的方法还有很多方面，这些都需要我们教师在数学教学过程不断的探索与实践。但是，只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，势必会为数学教学发展做出应有的贡献。参考文献[1]王振肃.新课标下数学习题课教学的设计与实践,数学教学研究,2011(1)[2]肖凌戆．高中数学“有效教学”的几点思考[J]，中国数学教育，2007（12）．[3]任樟辉《数学思维论》（1990年9月版）[4]郭思乐《思维与数学教学》（1991年6月版）