浅谈高考中的数学建模问题

用心爱心专心浅谈高考中的数学建模问题石光华侨联合中学数学组林丽浣函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。1、优化问题新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)。（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的人口量为y=N(1+p)x.）分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列)增长，土地是以算术级数(等差数列)减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为p(1+0．01)10；现在人均粮食占有量为bt(吨)时，10年后则为6(1+10％)t；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有(104一l0x)公顷；现有单产为Mt吨／公顷，10年后单产为M×(1+22％)t／公顷。设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。解：依题意得不等式答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。用心爱心专心本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。2、最（极）值问题新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值。例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（35a≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911x≤≤）时，一年的销售量为2(12)x万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值()Qa分析：总利润=每一件的利润×销售量=（每一件的售价-成本-管理费）×销售量解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：2(3)(12)[911]Lxaxx，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)Lxxxax(12)(1823)xax．令0L得263xa或12x（不合题意，舍去）．35a≤≤，2288633a≤≤．在263xa两侧L的值由正变负．所以（1）当28693a≤即932a≤时，2max(9)(93)(129)9(6)LLaa．（2）当2289633a≤≤即952a≤≤时，23max2221(6)63126433333LLaaaaa，所以399(6)32()1943532aaQaaa，≤，，≤≤答：若932a≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值()9(6)Qaa（万元）；若952a≤≤，则当每件售价为263a元时，分公司用心爱心专心一年的利润L最大，最大值31()433Qaa（万元）本题利用导数来求三次函数的最值。3、预测问题新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末汽车保有量为1b万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b万辆，3b万辆，…，每年新增汽车x万辆，则301b，xbb94.012对于1n，有)94.01(94.094.0211xbxbbnnn所以)94.094.094.01(94.0211nnnxbbxbnn06.094.0194.01nxx94.0)06.030(06.0当006.030x，即8.1x时3011bbbnn。当006.030x，即8.1x时数列}{nb逐项增加，可以任意靠近06.0x06.0]94.0)06.030(06.0[limlim1xxxbnnnn因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即60nb（,3,2,1n）则6006.0x，即6.3x万辆综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆。4、等量关系问题新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆建立“方程模型”解决，通过题目中的等量关系建立方程，再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。用心爱心专心例4、(1995年全国高考题)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元／kg，政府补贴为t元／kg，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量Pkg与市场日需求量Qkg近似地满足关系P=1000(x+t-8)，(x≥8，t≥0)当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?分析：从数学的角度理解政府补贴t的含义，可与税收联系起来，当t0时，则是补贴，意在扶植促进某个行业的发展，如果t0时，则是课税，为政府积累资金。解：(1)依题设，有解得t≥1或t≤-5，由于t≥0,知t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。5、测量问题新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆可设计成“图形模型”利用几何知识解决新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆。建立坐标，将问题转化为几何问题，利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。例5、（2003年全国理科）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南)102(cos方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？用心爱心专心．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是222)]([)()(tryyxx，其中10)(trt+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222tyx即,)6010()22201027300()2220102300(222ttt即0288362tt，解得2412t.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。本题通过建立解析几何模型来解决，此模型可用于研究台风，沙暴中心的运动规律，以预防自然灾害。