测试课后答案

1-4求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。a)符号函数的频谱10()sgn()10txtttt=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。10()sgn()0atatatetxtetet10()sgn()lim()axttxt0222112204()()(2)jftatjftatjftfXfxtedteedteedtjaf101()sgn()lim()aXftXfjfF1()Xfftsgn(t)01-1tu(t)01图1-25题1-4图a)符号函数b)阶跃函数02()02fffb)阶跃函数频谱10()00tutt在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法1：利用符号函数11()sgn()22utt1111111()()sgn()()()22222UfuttfjfjffFFF2211()()2Ufff结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，1()sgn()atxtet符号函数tx1(t)01-1符号函数频谱fφ(f)0π/20f|X(f)|-π/2由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。解法2：利用冲激函数10()()d00ttutt时时根据傅里叶变换的积分特性1111()()d()(0)()()222tUffffjjffF1-6求指数衰减信号0()sinatxteωt的频谱解答：0001sin()2jtjtteej所以001()2jtjtatxteeej单位阶跃信号频谱f|U(f)|0(1/2)fφ(f)0π/2-π/2指数衰减信号x(t)单边指数衰减信号1()(0,0)atxteat的频谱密度函数为112201()()jtatjtajXfxtedteedtaja根据频移特性和叠加性得：001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]ajajXXXjjaaaajaaaa1-7设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡00cos()mωtωω。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡0cosωt叫做载波。试求调幅信号0()cosftωt的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0mωω时将会出现什么情况？00X(ω)-ππφ(ω)ωω指数衰减信号的频谱图解：0()()cos()xtftt()[()]FftF0001cos()2jtjttee所以0011()()()22jtjtxtftefte根据频移特性和叠加性得：0011()()()22XfFF可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。若0mωω将发生混叠。fX(f)ω0-ω0矩形调幅信号频谱图1-27题1-7图ωF(ω)0f(t)0t-ωmωm4-12若将高、低通网络直接串联（见图4-46），问是否能组成带通滤波器？请写出网络的传递函数，并分析其幅、相频率特性。解：1212123()()1sHsss1=R1C1，2=R2C2，3=R1C21212123()()1jHj122212123()1()A2121231()arctan()A(0)=0，(0)=/2；A()=0，()=-/2，可以组成带通滤波器，如下图所示。R1C1uo(t)图4-46题4-12图C2R2ui(t)5-3求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。解法1：按方波分段积分直接计算。-50-40-30-20-100Magnitude(dB)101100101102103104-90-4504590Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)ty(t)tx(t)1-11T-1图5-24题5-3图sin(t)0000344304411()()()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()TTxyTTTTTRxtytdtxtytdtTTtdttdttdtT解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。411()coscos3cos535ytttt所以00000114()()()sin()cos()41sin()sin()22sin(2)sin()220sin()sin()TTxyTTTRxtytdtttdtTTttttdtTtdtdtTTT解法3：直接按Rxy()定义式计算(参看下图)。034430441()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()TxyTTTTTRxtytdtTtdttdttdtT参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数41024()32()0,1,2,yyTTTRTTRnTnty(t)tx(t)1-11T-1sin(t)00ty(t+)1-104T34TTT34T4TRy()0方波的自相关函数图TT/2