最新课件12-2坐标系与参数方程

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·高考一轮总复习第十二章选考部分走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第十二章第一、二节坐标系与参数方程第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学重点难点引领方向重点难点重点：1.极坐标与直角坐标互化，直线与圆的极坐标方程．2．直线、圆、圆锥曲线的参数方程．难点：1.直线与圆的极坐标方程．2．参数方程中参数的几何意义．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学夯实基础稳固根基一、坐标系1．平面直角坐标系中的伸缩变换设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：x′＝λxλ0y′＝μyμ0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学2．极坐标系(1)极坐标系的概念①在平面内取一个定点O为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位(通常取弧度)及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系．对于极坐标系内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标．如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R.第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)极坐标和直角坐标的互化公式若点M的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx，x≠0.Ρsinθ第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(3)简单的特殊曲线的极坐标方程①圆心在极轴上点C(a,0)，过极点的圆方程ρ＝2acosθ.②圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r.③过极点倾角为α的直线的极坐标方程为：θ＝α或θ＝α＋π(ρ≥0)．④过A(a,0)(a0)与极轴垂直的直线ρcosθ＝a.⑤过Aa，π2(a0)与极轴平行的直线ρsinθ＝a.第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学二、参数方程1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt.(*)如果对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学2．直线的参数方程过点(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程为x＝x0＋at，y＝y0＋bt，(t为参数)．特别当a2＋b2＝1时，设直线的倾斜角为α，则直线的参数方程为：x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，(t为参数)，第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学这时，参数t的几何意义是以直线l上点M(x0，y0)为起点，任意一点N(x，y)为终点的有向线段MN→的数量MN且|t|＝.|MN|第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学3．圆的参数方程(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为x＝rcosθ，y＝rsinθ，(θ为参数)；(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ，(θ为参数)．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学4．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是x＝acosθ，y＝bsinθ，(θ为参数，且0≤θ2π)．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)双曲线的参数方程中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的参数方程为x＝asecθy＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学5．其它常见曲线的参数方程(1)圆心在原点，半径为r的圆的渐开线的参数方程x＝rcosφ＋φsinφ，y＝rsinφ－φcosφ，(φ为参数)．(2)半径为r的圆x2＋(y－r)2＝r2的摆线的参数方程x＝rφ－sinφ，y＝r1－cosφ，(φ为参数)．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学疑难误区点拨警示1．在极坐标系中，如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R；点的极坐标不惟一．给定点的极坐标时，在平面上就唯一确定了一个点；但是给定平面上的一个点，它可以有无穷多个极坐标，一般地(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z与(ρ，θ)代表同一个点，有时为了使极坐标与平面上的点(除极点外)建立一一对应关系，规定ρ≥0,0≤θ2π.第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学2．极坐标与直角坐标互化条件：(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；(2)极轴与x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系中取相同的长度单位．3．极坐标方程θ＝θ1表示一条射线并非直线，只有当允许ρ0时，θ＝θ1才表示一条直线．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学1．求曲线的极坐标方程f(ρ，θ)＝0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同．特别注意的是求极坐标方程时，常常要解一个三角形．2．由点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，直接将x、y的值代入可求ρ＝x2＋y2，求极角θ时，先由(x，y)所在象限得出θ所在象限，再由tanθ＝yx确定角θ的值．3．参数方程和普通方程的互化(1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．要注意由参数的取值范围求出x或y的取值范围．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学考点典例讲练第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例1]方程x2＋y2＝1对应的图形经过伸缩变换x′＝4xy′＝32y后，对应图形的方程为________．平面直角坐标系中的伸缩变换第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：将x＝14x′y＝23y′代入x2＋y2＝1中得：14x′2＋23y′2＝1，∴x′216＋y′294＝1，∴x216＋y294＝1为所求的方程．答案：x216＋y294＝1第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：在坐标变换式x′＝λxy′＝μy中，点(x′，y′)是变换后点的坐标，应满足变换后的曲线方程，(x，y)是变换前点的坐标，应满足变换前曲线的方程x2＋y2＝1.第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学将椭圆x24＋y23＝1变换为圆x2＋y2＝1的坐标变换式为()A.x′＝4xy′＝3yB.x′＝2xy′＝3yC.x′＝14xy′＝13yD.x′＝12xy′＝33y第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：椭圆方程化为(x2)2＋(y3)2＝1，令x′＝x2，y′＝y3.则得x′2＋y′2＝1，故选D.答案：D第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例2]在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝42cos(θ－π4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程是x＝－1＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ.(1)求圆C1的圆心C1的直角坐标及半径r1；(2)判断圆C1与圆C2的位置关系．极坐标与直角坐标的互化第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：(1)⊙C1的方程化为ρ＝4cosθ＋4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，由ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2＋y2－4x－4y＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝8，其圆心C1的坐标为(2,2)，半径r1＝22.(2)将圆C2的参数方程x＝－1＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ化为普通方程得(x＋1)2＋(y＋1)2＝3，所以C2的坐标是(－1，－1)，r2＝3，|C1C2|＝2＋12＋2＋12＝32，所以|r1－r2||C1C2||r1＋r2|，所以圆C1与圆C2相交．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(文)(2011·江西南昌调研)已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离为________．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：圆方程化为x2＋y2＝2x，圆心C(1,0)，直线方程化为2x＋y－1＝0，∴C到直线距离d＝|2＋0－1|5＝55.答案：55第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(理)(2011·江西理，15)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：因为ρ＝2sinθ＋4cosθ，所以ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，即x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.答案：x2＋y2－4x－2y＝0第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例3](2012·哈三中模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22ty＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.参数方程与普通方程的互化(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：(1)将ρ＝25sinθ两边同乘以ρ得，ρ2＝25ρcosθ，∴x2＋y2＝25y，∴x2＋(y－5)2＝5.(2)将x＝3－22t，y＝5＋22t代入x2＋(y－5)2＝5中得，(3－22t)2＋(5＋22t－5)2＝5，化简得，t2－32t＋4＝0，∴tA＝22，tB＝2，|PA|＋|PB|＝|tA|＋|tB|＝32.第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(文)(2011·南昌调研)设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθy＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋2ty＝1＋t(t为参数)，则直线l被曲线C截得的弦长为__________．第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的普通方程是y－1＝12(x－1)，即x－2y＋1＝0，圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝|2＋2＋1|5＝5，因此直线l被圆C截得的弦长等于29－52＝4.答案：4第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：可直接利用直线参数方程中参数的几何意义求解．⊙C方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，将x＝1＋2ty＝1＋t代入整理得，5t2－4＝0，∴t1＝－25，t2＝25，∴弦长d＝12＋22|t1－t2|＝4.第十二章第二节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(理)在平面直角坐标系xOy中，过椭圆x＝5cosθy＝4sinθ(θ为参数)的左焦点，且与直线x＝1＋3t，