最短路径TSP遗传算法

第四章遗传算法与组合优化4.1背包问题（knapsackproblem）4.1.1问题描述0/1背包问题：给出几个尺寸为S1，S2，…，Sn的物体和容量为C的背包，此处S1，S2，…，Sn和C都是正整数；要求找出n个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C的背包。数学形式：最大化niiiXS1满足,1CXSniiiniXi1},1,0{广义背包问题：输入由C和两个向量C＝(S1，S2，…，Sn)和P＝(P1，P2，…，Pn)组成。设X为一整数集合，即X＝1，2，3，…，n，T为X的子集，则问题就是找出满足约束条件TiiCX，而使TiiP获得最大的子集T，即求Si和Pi的下标子集。在应用问题中，设S的元素是n项经营活动各自所需的资源消耗，C是所能提供的资源总量，P的元素是人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。广义背包问题可以数学形式更精确地描述如下：最大化niiiXP1满足,1CXSniiiniXi1},1,0{背包问题在计算理论中属于NP—完全问题，其计算复杂度为O(2n)，若允许物件可以部分地装入背包，即允许X，可取从0.00到1.00闭区间上的实数，则背包问题就简化为极简单的P类问题，此时计算复杂度为O(n)。4.1.2遗传编码采用下标子集T的二进制编码方案是常用的遗传编码方法。串T的长度等于n(问题规模)，Ti(1≤i≤n)＝1表示该物件装入背包，Ti＝0表示不装入背包。基于背包问题有近似求解知识，以及考虑到遗传算法的特点（适合短定义距的、低阶的、高适应度的模式构成的积木块结构类问题），通常将Pi，Si按Pi/Si值的大小依次排列，即P1/S1≥P2/S2≥…≥Pn/Sn。4.1.3适应度函数在上述编码情况下，背包问题的目标函数和约束条件可表示如下。目标函数：niiiPTTJ1)(约束条件：CSTniii1按照利用惩罚函数处理约束条件的方法，我们可构造背包问题的适应度函数f(T)如下式：f(T)=J(T)+g(T)式中g(T)为对T超越约束条件的惩罚函数，惩罚函数可构造如下:式中Em为Pi/S(1≤i≤n)i的最大值，β为合适的惩罚系数。4.2货郎担问题（TravelingSalesmanProblem——TSP）在遗传其法研究中，TSP问题已被广泛地用于评价不同的遗传操作及选择机制的性能。之所以如此，主要有以下几个方面的原因：(1)TSP问题是一个典型的、易于描述却难以处理的NP完全（NP-complete）问题。有效地解决TSP问题在可计算理论上有着重要的理论价值。(2)TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。因此，快速、有效地解决TSP问题有着极高的实际应用价值。(3)TSP问题因其典型性已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准，而遗传算法就其本质来说，主要是处理复杂问题的一种鲁棒性强的启发式随机搜索算法。因此遗传算法在TSP问题求解方面的应用研究，对于构造合适的遗传算法框架、建立有效的遗传操作以及有效地解决TSP问题等有着多方面的重要意义。问题描述：寻找一条最短的遍历n个城市的路径，或者说搜索整数子集X＝{1，2，…，n}（X的元素表示对n个城市的编号）的一个排列π(X)={v1，v2，…，vn}，使取最小值。式中的d(vi,vi+1)表示城市vi到城市vi+1的距离。4.2.1编码与适应度函数编码1．以遍历城市的次序排列进行编码。如码串12345678表示自城市l开始，依次经城市2，3，4，5，6，7，8，最后返回城市1的遍历路径。显然，这是一种针对TSP问题的最自然的编码方式。这一编码方案的主要缺陷在于引起了交叉操作的困难。2．采用“边”的组合方式进行编码。例如码串24536871的第1个码2表示城市1到城市2的路径在TSP圈中，第2个码4表示城市2到城市4的路径在TSP圈中，以此类推，第8个码1表示城市7到城市1的路径在TSP圈中。3．间接“节点”编码方式。以消除“一点交叉”策略（或多点交叉策略）引起的非法路径问题。码串长度仍为n，定义各等位基因的取值范围为（n–i+1），i为基因序号，解码时，根据相应基因位的取值，从城市号集合中不回放地取一个城市号，直至所有城市号被取完。由于这种编码方式特征遗传性较差，因此现行的研究中很少采用。适应度函数适应度函数常取路径长度Td的倒数，即f＝1/Td若结合TSP的约束条件（每个城市经过且只经过一次），则适应度函数可表示为：f＝1/(Td+α*Nt)，其中Nt是对TSP路径不合法的度量(如取付Nt为未遍历的城市的个数)，α为惩罚系数，常取城市间最长距离的两倍多一点(如2.05*dmax)。4.2.2交叉策略问题：基于TSP问题的顺序编码（其它编码如以边的组合状态进行编码也呈现相似特性），若采取简单的一点交叉或多点交叉策略，必然以极大的概率导致未能完全遍历所有城市的非法路径。如8城市的TSP问题的两个父路径为1234|56788765|4321若采取一点交叉，且交叉点随机选为4，则交叉后产生的两个后代为8765567812344321显然，这两个子路径均未能遍历所有8个城市，都违反TSP问题的约束条件。可以采取上述构造惩罚函数的方法，但试验效果不佳。可能的解释：这一方法将本已十分复杂的TSP问题更加复杂化了。因为满足TSP问题约束条件的可行解空间规模为n!；而按构造惩罚函数的方法，其搜索空间规模变为nn；随着n的增大n!与nn之间的差距是极其惊人的。解决这一约束问题的另一种处理方法是对交叉、变异等遗传操作做适当的修正，使其自动满足TSP的约束条件。常用的几种交叉方法：1．部分匹配交叉(PMX，PartiallyMatchedCrossover)法PMX操作是由Goldberg和Lingle于1985年提出的。在PMX操作中，先依据均匀随机分布产生两个位串交叉点，定义这两点之间的区域为一匹配区域，并使用位置交换操作交换两个父串的匹配区域。实例：如两父串及匹配区域为A＝984|567|1320B＝871|230|9546首先交换A和B的两个匹配区域，得到A’＝984|230|l320B’＝871|567|9546对于A’、B’两子串中匹配区域以外出现的遍历重复，依据匹配区域内的位置映射关系，逐一进行交换。对于A’有2到5，3到6，0到7的位置符号映射，对A’的匹配区以外的2，3，0分别以5，6，7替换，则得A”＝984|230|1657同理可得：B”＝801|567|9243这样，每个子串的次序部分地由其父串确定。2．顺序交叉法(OX，OrderCrossover)法与PMX法相似，Davis(1985)等人提出了一种OX法，此方法开始也是选择一个匹配区域：A＝984|567|1320B＝871|230|9546并根据匹配区域的映射关系，在其区域外的相应位置标记H，得到A’＝984|567|1HHHB’＝8H1|230|9H4H再移动匹配区至起点位置，且在其后预留相等于匹配区域的空间(H数目)，然后将其余的码按其相对次序排列在预留区后面，得到A”＝567HHH1984B”＝230HHH9481最后将父串A，B的匹配区域相互交换，并放置到A”，B”的预留区内，即可得到两个子代：A”’＝567|230|1984B”’＝230|567|9481虽然，PMX法与OX法非常相似，但它们处理相似特性的手段却不同。PMX法趋向于所期望的绝对城市位置，而OX法却趋向于期望的相对城市位置。3．循环交叉（CX，cyclecrossover）法Smith等人提出的CX方法与PMX方法和OX方法有不同之处。循环交叉的执行是以父串的特征作为参考，使每个城市在约束条件下进行重组。假设两个个体：A＝123456789B＝412876935进行交叉。以后代A’为例说明生成后代的过程：(1)从A中取第一个元素填人A’的第一个位置：A’＝1########(2)B的第一个元素为“4”，则在A中查找“4”的位置，并将它填入A’相应的位置中：A’＝1##4#####(3)B的第四个元素为“8”，则在A中查找“8”的位置，并将它填入A’相应的位置中：A’＝1##4###8#(4)B的第八个元素为“3”，则在A中查找“3”的位置，并将它填入A’相应的位置中：A’＝1#34###8#(5)B的第三个元素为“2”，则在A中查找“2”的位置，并将它填人A’相应的位置中:A’＝1234###8#(6)B的第二个元素为“1”，而“1”在A’中已经出现，这样就构成了一个循环。此时将剩下的位置填入B中对应位置的值：A’＝123476985同理，若以A为参照，可以得到B’。最后交叉所得的后代为：A’＝123476985B’＝412856739循环交叉算子的特点是保留了父代个体中序列的绝对位置。4．基于知识的交叉方法这种方法是一种启发式的交叉方法，按以下规划构造后代：(1)随机地选取一个城市作为子代圈的开始城市。(2)比较父串中与开始城市邻接的边，选取最小的边添加到圈的路径中。(3)重复第(2)步，如果发现按最小边选取的规划产生非法路径(重复经过同一城市)，则按随机法产生一合法的边，如此反复，直至形成一完整的TSP圈。使用这一方法，可获得较好的结果。不过，这一方法使用了基于问题的一些知识，损失了遗传算法的通用性和鲁棒性。关于TSP问题的遗传交叉方法还有各种各样的变形方法，一般来说，交叉方法应能使父串的待征遗传给子串，子串应能部分或全部地继承父串的结构特征和有效基因。4.2.3变异技术从遗传算法的观点来看，解的进化主要靠选择机制和交叉策略来完成，变异只是为选择、交叉过程中可能丢失的某些遗传基因进行修复和补充，变异在遗传算法的全局意义上只是一个背景操作。针对TSP问题，主要的变异技术如下：1．位点变异变异仅以一定的概率（通常较小）对串的某些位作值的变异。2．逆转变异在串中随机选择两点，再将这两点内的子串按反序插入到原位置中，如串A的逆转点为3，6，则经逆转后，变为A’A＝123|456|7890A’＝123|654|78903．对换变异随机选择串中的两点，交换其值（码）。对于串AA＝123456789若对换点为4，7，则经对换后，A’为A’＝1237564894．插人变异从串中随机选择1个码，将此码插入随机选择的插入点中间，对于上述A而言．若取插入码为5，选取插入点为2~3之间．则A’＝1253467894.2.4选择机制和群体构成在遗传算法中，最常见的选择机制是适应度比例选择机制；在有限规模的群体中，适应度较高的个体有较大的机会繁殖后代，即生物进化论上的适者生存规则。在新一代群体构成方法方面存在：N方式：全部替换上一代群体的全刷新代际更新方式。E方式：保留一个最好的父串的最佳保留（elitist）群体构造方式。G方式：按一定比例更新群体中的部分个体的部分更新方式（或称代沟方法，这种情况的极端是每代仅删去一个最不适的个体的最劣死亡方式）。B方式：从产生的子代和父代中挑选最好的若干个个体的群体构成形式。从群体规模来看，有变化规模的方式，也有恒定规模的群体构成方式等。一般讲，N方式的全局搜索性能最好，但收敛速度最慢；B方式收敛速度最快，但全局搜索性能最差；E方式和G方式的性能介于N方式和B方式之间。在求解货郎担问题的应用中，多选用E方式。4.2.5基于遗传算法求解TSP的算法实现1．编码与适应度函数我们以n城市的遍历次序作为遗传算法的编码，适应度函数取为路径长度的倒数（无惩罚函数）。2．选择机制用随机方法产生初始种群。适应度比例选择，E方式（精英保留）产生新一代种群。3．交叉方法选用的交叉方法与OX法有点类似，现介绍如下：(1)随机在串中选择一个交配区域，如两父串及交配区域选定为A＝12|3456|789B＝98|7654|321(2)将B的交配区域加到A的前面或后面，A的交配区域加到B的前面或后面得到A’＝7654|123456789B’＝3456|987654321(3)在A