济南大学试卷和答案B

B卷第1页共9页一.判断题(每小题2分,共10分.正确打“√”，错误打“×”.）评分阅卷人1．1121zdziz．（）2．若)(zf在0z不解析，则0()fz不存在．（）3．z为函数zsin1的孤立奇点．（）4．级数111[]2nnnin收敛．（）5．()argfzz在点0z处不连续．（）二.填空题(每小题2分,共10分.将正确结果填在横线上.）评分阅卷人1.复参数方程5cos3sinztit（t为参数）的直角坐标方程为.2．方程sincos0zz在复数范围内的全部解．3．sinRe[,0]zsz．4．幂级数1(1)nnniz的收敛半径是．5．14cos2zzdzz．三.选择题(每小题2分,共10分.将正确答案的代号添在括号内.）评分阅卷B卷第2页共9页人1．下列等式中，对任意复数z不成立的等式是（）（A）1Im()2zzzi；（B）1sin()2izizzeei；（C）2Lni；（D）zzee.2．下列函数中，不解析．．．的函数是（）（A）3z；（B）Rez；（C）ze；（D）sinzz.3.下列结论错误的是（）（A）0Z是函数3sinzz的二阶极点．（B）0Z是函数ln(1)zz的可去奇点．（C）1Re[,]1zse．(D)Z是函数ze的本性奇点．4.下列结论错误的是（）（A）C为不通过原点的简单闭曲线，则210Cdzz．(B)若()fz为解析函数，则()ifz也为解析函数．(C)在点0z解析的函数一定可以在点0z的邻域内展开成泰勒级数．(D)对于任意的复数1|cos|),(zz．5.已知11izi，则100251zz的值为（）（A）i（B）i（C）1（D）－1四.求解下列各题（每小题6分,共18分.写出解答过程.）评分阅卷人61()(3)6fzziz，求方程()0fz的全部解.1．设评分评阅人B卷第3页共9页2．函数22()fzyix在复平面内何处可导，何处解析，并求(1)fi评分评阅人B卷第4页共9页3．已知222vxyy，求解析函数ivuzf)(使(1)fi．五.计算下列积分（每小题7分,共28分.写出解答过程.）评分阅卷人1．3(43)zCIzedz，其中C为自原点沿实轴到1，再由1沿铅直方向向下到1i．评分评阅人评分评阅人B卷第5页共9页2．223(2)zzeIdzzz．评分评阅人B卷第6页共9页3．计算积分16523zdzzz．4．222(4)xIdxx．评分评阅人评分评阅人B卷第7页共9页六.解答下列各题（每小题7分,共14分.写出解答过程.）评分阅卷人1．将函数1()1zfzz在1z点展开成泰勒级数，并求收敛半径．评分评阅人B卷第8页共9页将函数21()()fzziz在区域1zi内展开成洛朗级数．七.证明题（每小题5分,共10分.写出证明过程.）评分阅卷人1．设函数Re()zfzz，试证函数zf在0z处极限不存在．评分评阅人评分评阅人B卷第9页共9页2.设函数fzuiv＝在区域D内解析，且函数zf恒取实值.证明：zf是常数.评分评阅人B卷第10页共9页B卷第1页一.判断题（2分×5＝10分，正确打√，错误打．）1．1121zdziz．（√）2．若)(zf在0z不解析，则0()fz不存在．（）3．z为函数zsin1的孤立奇点．（）4．级数111[]2nnnin收敛．（√）5．()argfzz在点0z处不连续．（）二．填空题（2分×5＝10分）1．复参数方程5cos3sinztit（t为参数）的直角坐标方程为221259xy．2．方程sincos0zz在复数范围内的全部解z=k，（k为整数）4．3．sinRe[,0]zsz0．4．幂级数1(1)nnniz的收敛半径是12．5．14cos2zzdzz2cos2i．三.选择题（2分×5＝10分，将正确答案代号填在括号内.）1．下列等式中，对任意复数z不成立的等式是（C）B卷第2页（A）1Im()2zzzi；（B）1sin()2izizzeei；（C）2Lni；（D）zzee.2．下列函数中，不解析．．．的函数是（B）（A）3z；（B）Rez；（C）ze；（D）sinzz.3.下列结论错误的是（C）（A）0Z是函数3sinzz的二阶极点．（B）0Z是函数ln(1)zz的可去奇点．（C）1Re[,]1zse．(D)Z是函数ze的本性奇点．4.下列结论错误的是（D）（A）C为不通过原点的简单闭曲线，则210Cdzz．(B)若()fz为解析函数，则()ifz也为解析函数．(C)在点0z解析的函数一定可以在点0z的邻域内展开成泰勒级数．(D)对于任意的复数1|cos|),(zz．5.已知11izi，则100251zz的值为（B）（A）i（B）i（C）1（D）－1四．解答下列各题（6分×3＝18分，写出解答过程）：1．设61()(3)6fzziz，求方程()0fz的全部解.解：由()0fz得53zi．解：5532(cossin)66ii∴5552(cossin)66zi-----------------------------4分B卷第1页∴方程的解为55522662(cossin),0,1,2,3,455kkzik----------------------------6分2．函数22()fzyxi在复平面内何处可导，何处解析，并求(1)fi解：设2uy，2vx则0,2,2,0xyxyuuyvxv．四个偏导数在复平面上都连续，由C—R方程得：yx．故()fz仅在直线yx上可导，在复平面上处处不解析．---------------------------4分且因为点1zi在曲线yx上，所以(1)2fii．-----------------------------6分3．已知222vxyy，求解析函数ivuzf)(使(1)fi．解：2222,22xyvxyyvxvy从而()22222yxfzvivyixiz2()()(22)2fzfzdzizdzizzC--------------------4分再由(1)fi得2C2()22fzizz或zf222222xyxixyy．--------------------6分五．计算下列积分（7分×4＝28分）：1．3(43)zCIzedz，其中C为自原点沿实轴到1，再由1沿铅直方向向下到1i．B卷第4页解：由于3()43zfzze在平面上处处解析，所以积分3(43)zCIzedz与路径无关，又3()43zfzze的一个原函数为43zze，----------------------------5分故3(43)zCIzedz＝41410(3)|(1)3373(cos1sin1)ziizeieei．------------------------7分2．223(2)zzeIdzzz．解：2()(2)zefzzz在23z内有两个不解析点，0,2zz分别为简单极点、二级极点2001Re,0limlim(2)4zzzesfzzfzz22222(1)Re,2lim[2]lim4zzzzeesfzzfzz，------------------------5分故由留数定理得：212(1)zzeIdzzz=22{Re[(),0]Re[(),2]}(1)2iisfzsfze------------------------7分3．计算积分16523zdzzz．解：56()32zfzz在:1cz内有6个一阶极点126,zzzB卷第1页---------------------2分由留数定理，有61()2Re[(),]kckfzdzisfzz2Re[(),]isfz2112Re[(),0]isfzz212Re[,0]32iszz23i------------------------7分4．222(4)xIdxx．解：令222()(4)zfzz，则()fz在上半平面有一个二级极点2zi，且231Re[(),2]lim[(2)()]8zisfzizifzi．------------------------5分于是12Re[(),2]284Iisfziii．-------------------------7分六．（7分＋7分＝14分）：1．将函数1()1zfzz在1z点展开成泰勒级数，并求收敛半径．解：由于111()11212zzfzzz而011()1212nnzz---------------------4分所以111001111()()(1)122212nnnnnzzfzzz．B卷第6页且收敛半径为112R．---------------------7分2．将函数21()()fzziz在区域1zi内展开成洛朗级数．解：21()()fzziz，当1zi时，11111izziizizi1001()()()nnnnniizizizi，--------------------4分因此213001111()1()()[]()()()()nnnnnninfzizizzizzizizi．-----------------------7分七．证明题（52分＝10分）：1．设函数Re()zfzz，试证函数zf在0z处极限不存在．证明：∵001limlim1xxykxykxxfzxiyki--------------------------3分极限值随k的变化而变化，故0limzfz不存在．--------------------------5分2.设函数fzuiv＝在区域D内解析，且函数zf恒为实数.证明：zf是常数.证明：因为函数fzuiv＝为实数，B卷第1页所以0v.-----------------------2分又因为函数fzuiv＝在区域D内解析，由C—R方程得0uvxy，0uvyx所以u为常数，故fzu是常数.-----------------------5分