济南市2008年中考数学试题及答案

济南市2008年高中阶段学校招生考试数学试题满分120分，时间120分钟一、选择题（每小题4分，共48分）1.－2的绝对值是（）AA.2B.－2C.21D.－212.下列计算正确的是（）BA.a3＋a4=a7B.a3·a4=a7C.（a3）4=a7D.a6÷a3=a23.下列简单几何体的主视图是（）C4.国家游泳中心——“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，其工程占地面积为62828平方米，将62828用科学记数法表示是（保留三个有效数字）（）BA.62.8×103B.6.28×104C.6.2828×104D.0.62828×1055.已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（）BA.（－2，1）B.（2，1）C.（2，－1）D.（－2，－1）6.四川省汶川发生大地震后，全国人民“众志成城，抗震救灾”，积极开展捐款捐物献爱心活动，下表是我市某中学初一·八班50名同学捐款情况统计表：捐款数（元）101520305060708090100人数（人）3101015521112根据表中提供的信息，这50名同学捐款数的众数是（）CA.15B.20C.30D.1007.如图：点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB=72°，则∠ACB的度数是（）CA.18°B.30°C.36°D.72°8.如果31xa＋2y3与－3x3y2b－1是同类项，那么a、b的值分别是（）AA.21baB.20baC.12baD.11ba9.“迎奥运，我为先”联欢会上，班长准备了若干张相同的卡片，上面写的是联欢会上同学们要回答的问题.联欢会开始后，班长问小明：你能设计一个方案，估计联欢会共准备了多少张卡片？小明用20张空白卡片（与写有问题的卡片相同），和全部写有问题的卡片洗匀，从中随机抽取10张，发现有2张空白卡片，马上正确估计出了写有问题卡片的数目，小明估计的数目是（）BA.60张B.80张C.90张D.11010.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2＋1=0的一个根为2，则a的值是（）DA.1B.3C.－3D.±311.济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）BA.4小时B.4.4小时C.4.8小时D.5小时12.如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=xk（k≠0），与△ABC有交点，则k的取值范围是（）CA.1k2B.1≤k≤3C.1≤k≤4D.1≤k4二、填空题（每小题3分，共15分）13.当x=3，y=1时，代数式（x＋y）（x－y）＋y2的值是__________.314.分解因式：x2＋2x－3=_________.（x＋3）（x－1）15.如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件_________________________.（只添加一个条件）BD=CD，OE=OF，DE∥AC等16.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是__________.417.数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：121101151121.我们称15、12.10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x、5、3（x5）.则x的值是_____________.15三、解答题18.（本小题7分）（1）解方程：2（x－1）＋1=0.解：2x－2＋1=0……1分2x=1……1分X=21……3分（2）解不等式组63042xx，并把解集在数轴上表示出来.解：解①得x－2……4分解②得x3……5分所以，这个不等式组的解集是－2x3……6分解集在数轴上表示正确.……7分19.（本小题7分）（1）已知：如图1，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF.求证：AB=DE.证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵AC∥DF，∴∠F=∠ACB，……1分∵BE=CF，∴BE＋EC=CF＋EC，即BC=EF，……2分∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE.……3分（2）已知：如图2，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP与E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长.解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF……4分∵DB=10，∴OD=5，∴AO=AD＋OD=3＋5=8，∵∠PAC=30°，∴OG=21AO=21×8=4……5分∵OG⊥EF，∴EG=GF，∵GF=222245OGOF=3，∴EF=6（cm）……7分20.（本小题8分）完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、－1、2、－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）.把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率.（用树状图或列表法求解）解：组成的所有坐标列树状图为：……5分……5分方法一：根据已知的数据，点（m，n）不在第二象限的概率为431612.方法二：1－43164.……8分21.（本小题8分）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同.请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格.解：设康乃馨每支x元，水仙花每支y元.……1分由题意得1822193yxyx……4分解得45yx……6分第三束花的价格为x＋3y=5＋3×4=17……7分答：第三束花的价格是17元.22.（本小题9分）某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.（1）求牧民区到公路的最短距离CD.（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到0.1，参考数据：3取1.73，2取1.41）解：（1）设CD为x千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，∴AD=CD=x……1分在Rt△BCD中，tan30°=BDx，所以BD=3x……2分∵AD＋DB=AB=40，∴x＋3x=40……分解得x≈14.7所以，牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米.……4分（若用分母有理化得到CD=14.6千米，可得4分）（2）设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v，在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=2CD，方案I用的时间t1=vCDvCDADvCDvAD34333……5分方案II用的时间t2=vCDvAC2……6分所以，t1－t2=vCDvCD342=vCD3)423(……7分因为32－40，所以t1－t20.……8分所以方案I用的时间少，方案I比较合理.……9分23.（本小题9分）已知：如图，直线y=－3x＋43与x轴相交于点A，与直线y=3x相交于点P.（1）求点P的坐标.（2）请判断△OPA的形状并说明理由.（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.求：①S与t之间的函数关系式.②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值.解：（1）xyxy3343……1分解得322yx……2分所以点P的坐标为（2，23）（2）将y=0代入y=－3x＋43，－3x＋43=0，所以x=4，即OA=4……4分作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=23，∵tan∠POA=232=3，∴∠POA=60°……5分∵OP=22)32(2=4∴△POA是等边三角形.……6分（3）①当0t≤4时，如图1，在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t，∴EF=t23，OF=t21，∴S=21·OF·EF=283t……7分当4t8时，如图2，设EB与OP相交于点C，易知：CE=PE=t－4，AE=8－t，∴AF=4－t21，EF=23（8－t），∴OF=OA－AF=4－（4－t21）=t21，∴S=21（CE＋OF）·EF=21（t－4＋21t）×23（8－t）=－833t2＋43t－83……8分②当0t≤4时，S=283t，t=4时，S最大=23.当4t8时，S=－833t2＋43t－83=－833（t－316）2＋383t=316时，S最大=383……9分24.（本小题9分）已知：抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）,顶点C（1，－3），与x轴交于A、B两点，A（－1，0）.（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断ADPNBEPM是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE、BE相交于点F，G（F与A、E不重合，G与E、B不重合），请判断EGEFPBPA是否成立.若成立，23题图1请给出证明；若不成立，请说明理由.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x－1）2－3……1分将A（－1，0）代入：0=a（－1－1）2－3，解得a=43……2分所以，抛物线的解析式为y=43（x－1）2－3，即y=43x2－23x－49……3分（2）是定值，ADPNBEPM=1……4分∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE，∴△APM∽△ABE，所以ABAPBEPM①同理：ABPBADPN②……5分①＋②：1ABPBABAPADPNBEPM……6分（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB，∴EA=EB，∵∠AEB=90°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB=∠EBA=45°……7分如图，过点P作PH⊥BE与H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形.∴PH=ME且PH∥ME.在△APM和△PBH中，∵∠AMP=∠PBH=90°，∠EAB=∠BPH=45°，∴PH=BH，且△APM∽△PBH，∴BHPMPBPA，∴MEPMPHPMPBPA①……8分在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE＋∠SEG=90°，∵∠MEP＋∠SEG=90°，∴∠FGE=∠MEP，∵∠MPE=∠FEG=90°，∴△MEP∽△EGF，∴EGEFMEPM②由①、②知：EGEFPBPA……9分（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）