浙大05–06年夏季学期《微积分Ⅲ》期末考试试卷

1浙江大学2005–2006学年夏季学期《微积分Ⅲ》课程期末考试试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：2007年7月1日所需时间：120分钟考生姓名：_____学号：专业：________题序一二三总分1－45－891011121314得分评卷人一、填空题（每小题5分，将答案填在横线上）(1)设l为椭圆1422yx的一周，其全长为a，则平面第一型（即对弧长的）曲线积分cdsyx2)2(.(2)已知ydexexdeyexyyx为某二元函数),(yxu的全微分，且.1)0,0(u则),(yxu.（3）设),,(zyxuu具有二阶连续偏导数，且满足,222222222zyxzuyuxuS为球面)0(2222aazyx的外侧，则第二类曲面积分Syxzuxzyuzyxudddddd.（4）设)(y具有连续的一阶导数，,1)1(l为自点(0,0)沿曲线xxy232到点(1,1)的有向弧，则平面第二型曲线积分.d))((d))(2(2lyyyxxyyx2二、选择题（每小题5分,每小题所给4个选项中只有1个是符合要求的,请将所选代码填入【】中）.(5)设}0|),{(22yxyxD，l是D内的任意一条逐段光滑的封闭曲线，则必有(A)0)()(22lyxdyyxdxyx(B)0)()(22lyxdyyxdxyx(C)0)dd(44lyxxyyxxy.(D).0)dd(44lyxxyyxxy【】(6)设S为上半球面),0(,0,2222azazyx下列第一型曲面积分或第二型曲面积分不为0的是(A).dd上侧Szyx(B)上侧Szyy.dd2(C)SSy.d(D)SSyx.d【】(7)设),(yxP与),(yxQ在平面区域D上连续且有连续的一阶偏导数，则“当yPxQDyx),(”是“对于D内的任意一条逐段光滑的闭曲线l,0d),(d),(lyyxQxyxP”的(A)充分条件而非必要条件.(B)必要条件而非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分有非必要条件.【】(8)设空间区域}0,0,0,9|),,{(222zyxzyxzyx，函数)(xf为正值的连续函数，则.)()()()(3)(2)(dVzfyfxfzfyfxf(A).29(B).9(C).227(D).27【】3三、解答题（以下各小题每题10分，解题时应写出必要的解题过程）.(9)设Ω是由曲面)(2122yxz与8z所围成的空间有界闭区域，求Vyxd)(22.(10)设S是锥面)10(22zyxz的上侧，求.dd3dd2ddSyxzxzyzyx(11)设L为空间曲线xyxyxz22222，自z轴正向往负向看，L是逆时针的，求.ddd222zzyxxyL(12)设l为自点)0,1(A沿圆周4)1(22yx的上半个到点)0,3(B的有向弧段，求.4dd22lyxxyyx（13）设S为曲面),10(),(2122zyxz求第一型曲面积分.d)12(SSz（14）设)(uf具有连续的一阶导数，点)1,1(A，点)3,3(B，l为以AB为直径的左上半个圆弧，自A到B，求.d))(1(d))(1(lyxyxfyxyyxfx4参考解答：一．（1）a；（2）1yxxeye；（3）554a；（4）21.二．CABB三．（9）解1：原式31024ddrd82r403202zr解2：原式＝31024drdd2032080zrz（10）解1：高斯公式.1,1:221yxzS，下侧，V：1:,12222yxDzyxxy原式11SSSxyDVd3d63ddrd61r1020zr解2：化第一类曲面积分.1:,0:22222yxDyxzSxy，},,{210zyxzn原式SSzyxd)cos3cos2cos(SSSyxzSzyxzd)2(121d)32(12122222yxDyxyxd22222102220d)cos1(rd4r（11）解1：Stokes公式xyxDyxyxzSxy2:),(,:2222上侧原式Szxyzyxyxxzzy222ddddddSyxyxdd)22(yxDyxyxdd)22(yxDyxxdd22dcosrd4cos20220r解2：直接法.20:,2cos2,sin,cos1:ttztytxL原式2t)dcost(2cos2032t5（12）解：yPyxxyxQ22222)4(4,)0,0(),(yx，积分与路径无关.设),0(44:22yyxLAC)0,1()0,1(CA0:,sin2,costtytxCBLAC原式ACLxyyxdd41＋0022t)dsin2t(2cos41t2（13）解：dyxdS221，2:),(21:2222yxDyxzSxySDyxdyxyxdSz22221]1)(212[)12(202|)1(5221225r)139(52（14）解：2yPxQ,)31:(:xxyAB,22||ABABBALAB原式0dd2yxD－2