浙大版概率论与数理统计答案---第五章

第五章大数定律及中心极限定理注意：这是第一稿（存在一些错误）1、解（1）由于{0}1PX，且()36EX，利用马尔科夫不等式，得(){50}0.7250EXPX（2）2()2DX，()36EX，利用切比雪夫不等式，所求的概率为：223{3240}1(364)10.75164PXPX2、解：500,0.1iXB，5005001211500111610%5%192.8%5000.05125iiiiDXPX3、解服从参数为0.5的几何分布，11(),(2,3,4)2nPnn可求出2()()3,()2nEnPnD于是令()2abE，2ba，利用切比雪夫不等式，得有2()()1(())175%DPabPE从而可以求出22,()322,()322aEbE4、解：1,,nnnXnnnxFxPXxPXxXxFxa，0,xa。则11nnnXnnxpxnFxpxa，0,xa。101nnaXnnxnExxdxaan，212220121nnaXnnxnnDxxdxaaannn。222121nnnPXaannn，所以lim0nnPXa。5、解服从大数定律。由题意得：2/32/32/3{},()()!kiiiiiePXkEXDXik由1/32/32221111111()()0nnnniiiiiDXDXinnnn根据马尔科夫大数定律，可判断该序列服从大数定律的。6、解：（1）2hxx，则hx连续。22211EhXEX，则0，有22211lim0niniPXn，则22211npiiXn，n。（2）2hxx连续，2211EhXEX，则0，有2211lim0niniPXn，则2211npiiXn，n。（3）12122211limpnnnnniiiiXXXXXXEXX12pnXXXXn，2222111npiiXnSnXnn，故12222221lim1pnnniiXXXnnnX(4)原式依概率收敛，即12122211limpnnnnniiiiXXXXXXEnXnX12221limlim1nnnniiXXXnXEEnnSnXlim1nnXEnSlim()1nXnnEnSSnlim1nnEnSES7解（1）由题意得：221111{}1110nniiiiPXaPXann根据推论5.1.4，可求得221202()xaEXxedx（2）由题意得：211(),()iiEXDX，100100100211112111(),()()5050250025iiiiiiEXDXDX根据中心极限定理，可知10021121~(,)5025iiXN（3）2224224(),()iiEXaDX，利用中心极限定理，可知10022411224~(,)100100iiXN从而10022112{}0.5100iiPX8、解：500,150XN近似地，506016010.210.27.9%50XPPXPXP9、解（1）由题意得：记20.951.050.951.051.122pPX，引入随机变量10,iiYi，第次试验中该事件发生，i=1,2,3第次试验中该事件不发生，且(1)iPYp于是1niiYY服从二项分布：1001001001()()(1)nkkiiPYkPYkCpp方法一：（Y的精确分布）10099(2)1(0)(1)1(1)100(1)99.756%PYPYPYppp方法二（泊松分布）Y近似服从参数为100p的泊松分布100100(2)1(0)(1)110099.66%ppPYPYPYepe方法三：（中心极限定理）Y近似服从(100,100(1))Nppp于是：2100(2)1(2)1()99.55%100(1)pPYPYpp（2）设至少需要n次观察记133224qPX，这时(1)iPYq于是1niiYY近似服从(,(1))Nnqnqq808095%(80)()1()(1)(1)(1)YnqnqnqPYPnqqnqqnqq经查表有801.65(1)nqnqq，从而求得n=11710、解：1,0.3,2,0.5,3,0.2.X10.320.500.21.3EX，2220.30.30.70.51.30.20.61DX，800111.38000,10.61800iiXN近似地，则80080011110001.31.380080010000.610.61800800iiiiXPXP1.8196.48%11、解（1）由题意得，引入随机变量101000,0iiXi，第名选手得分，i=1,2,3，第名选手不得分，且(1)0.3iPX所求的概率为：1001001110.30.350.30.350.310035()()86.21%0.3*0.7/1000.3*0.7/1000.3*0.7/100iiiiXPXP（2）用iX表示第i名选手的得分，则23(0)0.2,(1)0.2*0.80.16(2)0.2*0.80.128,(4)0.80.512iiiiPXPXPXPX并且()2.464,()2.793iiEXDX同时10012.464*100~(0,1)100*2.793iiXN，于是所求的概率为：10012202.464*100(220)1()(1.58)94.3%100*2.793iiPX