有感于顾沛教授主讲“数学文化”

探索数学之美——有感于顾沛教授主讲“数学文化”2015年10月15——16日，我有幸在重庆市大渡口区实验小学参加了“2015年全国数学文化在小学素质教育中的时间探索研讨会”在会上顾沛教授虽然已年过六旬，但依然精神抖擞，谈笑风生；他是一名学者，潜心治学数十载，勇于创新，开数学文化之先河，倡导数学式理性思维，使原本晦涩艰深的理论知识变得妙趣横生，耐人寻味；他是首届国家级教学名师，南开大学“数学文化”课程的创始者和主讲人。在会上，顾教授带着他惯有的谦和与从容走上讲坛，与大家漫谈数学文化，分享数学之美。第一讲到：走近“数学文化”解密双层内涵他说：可能对很多人而言，“数学文化”一词还是陌生的。在2003年教育部颁布的“数学课程标准”中，它首次作为官方用语出现，这之后便广泛地流传开来，时至今日，已有越来越多的人们更愿意从文化这一角度去关注数学，强调其文化价值。不同于物理、化学这些自然学科，数学是对事物高度抽象的结果，是人脑的产物，它为人们提供的是灵活的思考方式和解决问题的方法。而作为一种特殊的文化形态，“数学文化”又包含着狭义和广义两层内涵，从狭义上说，它仅仅指的是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；而从更深层面上说，数学文化还涵盖着数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系。第二讲到：提高数学素养养成数学式思维一位数学教育家曾说过，不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。这种从数学角度出发看问题和解决问题的思维方式也正是顾教授所一直强调和提倡的“数学素养”。通俗地说，也就是把所学的数学知识都排除或忘掉之后所剩下的东西，这就要求我们要跳出公式和定理的本身，去探索更为本质的东西。而面对中国现行的教育模式，顾教授又不无担忧地指出，由于教学方式和内容的局限，尽管一个人经历了至少长达十三年的数学学习，但却往往只得皮毛，对数学的精髓毫无概念，在宏观上把握数学的能力较差，也就是所谓的数学素养太差，甚至误以为学数学就是为了解题、考试，而不了解数学在实际生活中的广泛的应用，这不得不说是教育的一大怪圈，为了解决这样的弊端，同时也是本着教授数学的思想、精神和方法；提高学生的数学素质的初衷，由顾教授首创的南开大学“数学文化”公选课程便应运而生了。那么，数学素养在我们的日常生活中又有哪些运用和体现呢？紧接着，顾教授便给大家看了一道关于“病狗”的题目，这道微软公司招聘员工的考题，乍一看上去，似乎是简单的脑筋急转弯，仔细推敲，却是一道设计巧妙的数学应用题，正确的解答需结合运用反证法和数学归纳法，当谜底揭晓时，在座的每一位都为这其中所蕴涵的数学思维惊叹不已。题目是：村子里有50个人，每人有一条狗。在这50条狗中有病狗(这种病不会传染)。于是人们就要找出病狗。每个人可以观察其他的49条狗，以判断它们是否生病，只有自己的狗不能看。观察后得到的结果不得交流，也不能通知病狗的主人。主人一旦推算出自己家的是病狗就要枪毙自己的狗，而且每个人只有权利枪毙自己的狗，没有权利打死其他人的狗。第一天，第二天都没有枪响。一直到第十天传来一阵枪声，问有几条病狗，如何推算得出？他给了我们两点：1、病狗肯定不止一条；2、数学归纳法。第三讲到：从三次危机着手了解数学历史历史告诉我们，科学的道路从不平坦，在数学的发展轨迹中，就曾发生过三次重大的危机，讲座中，顾教授着重给为我们介绍了由牛顿的“无穷小”而引发的第二次数学危机。众所周知，牛顿是20世纪最伟大的科学家之一，他的微积分理论更堪称是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，然而这套运算方法却因为存在逻辑上的问题而被英国大主教贝克莱猛烈攻击，在接下来的两百多年里，尽管数学家们不懈探索，尝试各种各样的方法，但都未能彻底反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地解决了这一难题，而魏尔斯特拉斯数学语言的问世更是为这个困扰数学界长达两个多世纪的争论画上了圆满的句号。我们不得不感慨，知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的，书本上的知识往往是按部就班，从简到繁，然而这些公式、定理的确立都是历经了无数次被怀疑，被否定，被考验的过程，这其中数学家们付出的艰辛可想而知，站在前人的肩膀上的我们，要真正理解数学，学好数学，就应该懂得发掘历史，铭记这些背后的故事。第四讲了十个例子多重角度展现数学之美这十个例子是：例一：芝诺悖论与无限——从初等数学到高等数学很多人都听过芝诺悖论中的“阿基里斯永远追不上乌龟”的问题，顾沛在分析这个问题时，指出这一悖论的症结在于混淆了有限与无限的问题。芝诺认为阿基里斯在追赶乌龟的过程中，首先要到达乌龟原先的位置A，而这时乌龟已经到了位置B，阿基里斯继续追赶则要先到达B，这时乌龟又到达了位置C，以此类推，阿基里斯似乎永远也追不上乌龟了，可是芝诺却忽视了一个问题，无限长度或时间的和，可能是有限的。另一个与无限有关的是“有无限个房间的旅馆”问题，一个有无限个房间的旅馆客满后来了一个客人，应该怎样安排他？答案很简单，让原先住在1号房的客人搬进2号房，原先住在2号房的客人住进3号房，以此类推，让原先住在K号房的客人住进K+1号房，这样就空出了1号房给新来的客人。同理，来了一个团的无穷个旅客，一万个团的无穷个旅客甚至无穷个团的无穷个旅客也应对自如了。在场的许多同学都有所领悟，给出了精彩的解答。奇妙的数学，从有限到无限，不可能的也成了可能。例二：海岸线的长度问题——分形与混沌首先是分形问题。B．B．Mandelbrot发现英国的海岸线永远也无法测量，为什么呢？柯赫曲线的几何现象说明了这个问题。（组图略）这样的一组图具有自相似性，在测量海岸线时，如果尺子的长度精确度不同，那么海岸线的形状就可以无限分形，当然无法准确测量了。正是这样一个问题，发展成了数学界一个非常重要的分支。混沌问题。这个问题是E．N．Lorenz在做天气预报中发现的。大家都知道的“蝴蝶效应”，也是一种混沌现象，由此可见，数学问题无处不在。例三：历史上的数学危机——数学的思想大解放顾沛讲到，我们学习数学，却不知道数学背后的历史。牛顿为了计算瞬时速度，创立了微积分学，可是贝克莱却对牛顿发难：无穷小作为一个量，究竟是否为0？在算式s/t=gt+1/2g(t)中，贝克莱质疑道：如果无穷小量等于0，则等号左端无意义，若不等于0，则右边的后一项不能随意取掉，因此，反驳贝克莱成了一个棘手的问题。直到数百年后，柯西的极限理论的出现，“ξ-σ”语言的出现。才消除了这一危机。由此可见，在数学中，知识的逻辑顺序与历史顺序有时是不同的。例四：周髀算经与勾股定理——中国和世界数学的骄傲顾沛讲到，很多人都知道北京2008年举行奥运会，可是却很少有人知道2002年在北京举行的“国际数学家大会”，这是我国许多世界顶尖数学大师和政府争取来的荣誉。这次大会的会徽就选择了周髀算经中勾股定理证明的图形。美国宇航局的一次寻找外星人的行动中，也带去了一个证明勾股图形的黄金制品，可见勾股定理的证明是世界的骄傲。至今勾股定理的证明已经多达380种了，而很多人，仍在探寻新的方法。例五：蒲丰投针问题——什么是创新1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于平行线距离的一半的针，让他们随意投放。事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，共投针2212枚，与直线相交的704枚，两者相处，正好等于圆周率。求圆周率是一个几何问题，而蒲丰却用概率的方法解决了，完全不相同的两个领域被神奇地联系起来，这就是某种意义上的创新。例六：变换的方法——化繁为简来看一道很常见的数学题“小王先快后慢，以不规则的速度用100秒沿直线从A点走到B点，有先慢后快以相反的方式从B返回A，问什么情况下，在A，B间存在C使小王从A到B的时间等于从B到A的时间。为什么？”当然答案非常简单，只需将第二次的小王换成大王。两者同时出发，问题就变成了解决一个相遇问题了。而题目中大部分条件都是起迷惑作用的。顾沛在讲完这道题后，告诫大家，现实的问题纷繁复杂，要学会用这些数学素养简化条件，解决问题。例七：类比的方法——举一反三4个平面最多把空间分成多少个部分？答案是15个，但绝对不是由“4*4-1”得出的。方法是这样的，四个平面的情况中最复杂的是这四个平面组成了一个四面体，然后将四面体平展成一个平面，于是主要问题就集中在四面体的棱把这个平面分成几份了。将陌生的复杂的问题用熟悉的简单的问题来类比，同样也是生活中的数学应用。例八：哥尼斯堡七桥问题——抽象的观点如何将哥尼斯堡的一条小河上的7座桥一次性走完呢？居民在多次尝试无果后，来请教大数学家欧拉。于是聪明的欧拉将居民的问题抽象为一笔画问题，在他的图纸上，线条的交点被分为奇界点和偶界点，并得出了一笔画问题能成功的充要条件：奇界点≦2个。这就是抽象的观点的精髓：抓住问题本质，突出问题本质。例九：“变中有不变”的观点——数学的生命力数学大师陈省身先生，曾指出“三角形内角和为108度”这个命题不好，而认为“n边形的外角和为360度”是个好命题，因为它的变中有不变。例十：数学中的审美的思想——数学的艺术数学中有很多种类的美，简洁美、对称美、统一美、奇异美……顾教授给在座的展示了埃尔兰根纲领，欧拉公式，黄金比，斐波那契数列等许多让人匪夷所思的数学现象，着实让在座的每一位倾倒于数学的无限魅力。最后一部分，顾教授由周髀算经和勾股定理入手，运用十个具体形象的例子从不同的角度讲述了数学文化和素养的魅力——“蒲丰投针”告诉大家什么是创新；“变换的方法”教会同学们如何化繁为简，利用数学素养简化条件，解决问题；“类比的应用”可以让我们在生活中做到举一反三，从容应对；“七桥问题”揭示了抽象观点的精髓，即透过表面现象，抓住问题的实质；“变中有不变的观点”更是一针见血地反映了事物的本质，同时也是数学的灵魂和生命……这一切，或简洁或对称，或统一或奇异，都在向我们全方面地展示着数学的审美艺术和智慧结晶，着实让在座的每一位都深深折服。在观众的热烈掌声中，讲座走入尾声。虽然时间是短暂的，但相信通过这次与“数学文化”的对话，带给我们的会是更多的思考……