有效弹性模量微分法的一种近似解法

有效弹性模量微分法的一种近似解法1微分法微分法来源于1952年Roscoe[20]在研究悬浊液体的性质时提出的微分等效介质的概念.70年代Boucher和Malaughlin[21]等分别将其应用在研究复合材料等效弹性模量计算方面.微分法假设一体积为Vm、弹性刚度张量为Lm的均质基体材料,从中取出体积为ΔV(体积分数Δc)的材料.然后,均匀地在该基体材料中嵌入相同体积为ΔV(体积分数Δc)的具有弹性刚度张量Li的夹杂,并将材料均匀化后,复合材料的有效弹性模量变为-L(Δc,Lm).继续这种“取出-添入”过程,直到复合材料增强相的含量达到所要求的比率为止.这种一系列反复的过程导出了有效特征和体积分数之间的微分方程.***国家自然科学基金项目(10772021,10972027),国家重点基础研究发展计划(2010CB7321004)和江苏大学校基金项目(11JDG066)资助.2009-10-30收到第1稿,2011-01-25收到修改稿.通讯作者.Tel:[phone],E-mail:[e-mail].以两相复合材料为例.两相复合材料的有效弹性模量张量可以写成:-L(c)=Lm+c(Li-Lm)∶Ai(Lm)(1)其中c为夹杂的体积分数,Ai为应变集中张量.当极限Δc→0,得微分方程如下:d-L(c)dc=11-c[Li--L(c)]∶Ai[-L(c)](2)该微分方程的初始条件为:-L(c)|c=0=Lm(3)其中-L为有效刚度张量.由Eshelby的方法可以得到:Ai[-L(c)]=Ti|Lm=-L(c)=[I+-S1(-L-1Li-I)]-1(4)其中-S1为Eshelby张量,I为四阶单位张量.将式(4)代入式(2)和(3)得:d-Ldc=11-c(Li--L)[I+-S1(-L-1Li-I)]-1(5)-L(0)=Lm(6)对于各向同性复合材料,有:-L-1=13-k,12-μ(7)-S1=(α,β)=3-k3-k+4-μ,6(-k+2-μ)5(3-k+4-μ)(8)其中-k、-μ为复合材料的体积弹性模量和剪切弹性模量.将式(7)和(8)代入式(5),可得微分方程:d-kdc+(-k-ki)(3-k+4-μ)(1-c)(3ki+4-μ)=0(9)d-μdc+5-μ(-μ-μi)(3-k+4-μ)(1-c)[3-k(3-μ+2μi)+4-μ(2-μ+3μi)]=0(10)它的解必须满足初始条件:-k(0)=km,-μ(0)=μm(11)其中km、μm、ki、μi分别表示基体和夹杂的体积弹性模量和剪切弹性模量.微分方程(9)和(10)是高度非线性且耦合的微分方程,求解比较困难,很难得到显式的表达形式.2微分法的近似求解为便于求解,在文献-*/+中采取了一种近似的解法,用分离变量的方法求得微分方程的近似显式解.对于球形颗粒增强复合材料,微分方程(9)、(10)可以化为[1]:d-kdc=ki--k1-c-k+k*ki+k*(12)d-μdc=μi--μ1-c-μ+μ*μi+μ*(13)其中k*与μ*为引入的约束张量,即:k*=43-μ,μ*=16-μ9-k+8-μ-k+2-μ如果我们近似地取[1]:k*=43μm,μ*=16μm9km+8μmkm+2μm就可以用分离变量的方法求得的近似显示解为:-k=km+c(ki-km)1+(1-c)(ki-km)/(km+k*)(14)-μ=μm+c(μi-μm)1+(1-c)(μi-μm)/(μm+μ*)(15)然而所得结果与Mori-Tanaka方法的结果相同,因此这种近似并未能充分体现出微分法的思想和优点.因为在整个微分法过程中,Eshelby张量的变化对复合材料的有效刚度张量的影响很小,所以本文用基体的Eshelby张量代替复合材料的Eshelby张量.同时将Eshelby张量式(8)替换成球形增强复合材料的Eshelby张量表达式:α=131+νm(1-νm),β=2154-5νm(1-νm)(16)其中νm为基体的泊松比.由此假设可知在微分法的“取出-添入”过程中,复合材料的泊松比时刻与基体材料的泊松比一致.将式(8)代入式(9)或式(12)得:ln-kα|-k-ki|=ln1|1-c|+D1(17)其中D1为积分常数待定,α的计算见式(16).又由式(11),可以求出待定常数D1,代入式(17)可得:-kα-k-ki=kαmkm-ki11-c(18)同理可得:-μβ-μ-μi=μβmμm-μi11-c(19)β的计算见式(16).由式(18)、(19)可以很容易地求出复合材料的有效弹性模量.3分析与比较为了说明微分法近似解的有效性,本文首先分析了该近似解对剪切弹性模量的影响,见图1,数值模拟中,将基体剪切模量单位化为μm=1,泊松比νm=0.35,夹杂为孔洞.图中实线为微分法的近似解,点曲线为微分法的精确解.由图可知两曲线分布规律相同,数值非常接近.说明这种解法是可行的.为了进一步说明近似算法的可靠性,把本文采·283·第3期吴云章等:有效弹性模量微分法的一种近似解法图1近似解与微分法的比较Fig.1Compareapproximatesolutionwithdifferential用的这种近似算法与几种常用方法以及实验数据进行比较,计算了杨氏模量随夹杂体积分数的变化曲图2几种方法及实验数据比较Fig.2Comparetheresultsfromdifferentmethodswithexperimentaldata线,见图2.在图2(a)中,基体为环氧树脂,相关材料参数为Em=2.03GPa,νm=0.4,夹杂为孔洞,即材料参数为Ei=0GPa,νi=0;在图2(b)中,基体为环氧树脂,材料参数为Em=1.72GPa,νm=0.45,夹杂为球形颗粒的玻璃,材料参数为Ei=70.3GPa,νi=0.21,实验数据来自Nishimatsu和Gurland[22].此处分析了基体杨氏模量比夹杂大和比夹杂小两种情况.由图可知,近似算法所得结果与用各种方法所得剪切模量变化曲线分布规律相似,与传统的微分法结果和实验数据相当接近,说明所得结果是可靠的,方法是可行的.近似算法不仅可以适用于夹杂为球形形状,还可以适用于随机短纤维形状.对于随机布置的短纤维,整体表现为各向同性.当基体为GA321Em=42.183GPa,νm=0.30;夹杂为短纤维Ei=196.2GPa,νi=0.25时,所得到杨氏模量随夹杂体积分数的变化见图3,并与范建华[24]的解进行了比较.由图3可知,所得结果与范建华[24]的结果惊人的相似.这说明这种近似解不但可以计算球形夹杂,而且也可以计算随机短纤维夹杂复合材料的有效模量.