浙江工商大学10-11数分(I)试题(A)

浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第1页共11页浙江工商大学2010/2011学年第一学期考试试题(A卷)课程名称：＿数学分析（I）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级名称：学号：姓名：题号一二三四五总分分值1010103535100得分阅卷人一、判断题（每空2分，共10分）(1)若对任意的0,至多只有有限项nx满足||nxa,则{}nx收敛于a.()(2)如果极限0lim()xxfx存在,则函数()fx在0x点连续.()(3)可微函数()fx在0x点取极值的充分必要条件是0'()0fx.()(4)若lim()xfx,则曲线()yfx必不存在水平渐近线.()(5)有理函数总存在初等函数的原函数.()二、选择题（每题2分，共10分）(1)设na为单调数列，若存在一收敛子列jna，这时有()A.jnjnnaalimlim；B.na不一定收敛；C.na不一定有界；浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第2页共11页D.当且仅当预先假设了na为有界数列时，才有A成立．(2)设)(xf在R上为一连续函数，I为一区间则有()A.当I为开区间时)(If必为开区间；B.当)(If为闭区间时I必为闭区间；C.当)(If为开区间时I必为开区间；D.以上A.B.C都不一定成立．(3)设)(xf在某去心邻域)(0xU内可导．这时有()A.若Axfxx)(lim0存在，则Axf)(0；B.若f在0x连续，则A成立；C.若Axf)(0存在，则Axfxx)(lim0；D.以上A.B.C都不一定成立．(4)若0)(af，则0，使得当),(aax时，必有()A.)(xf单调递増；B.)()(afxf；C.若)(xf存在，则A成立；D.以上A,B,C都不一定成立．(5)下列等式中成立的是.A.()()dfxdxfxB.()()dfxdxfxdxdxC.()()dfxdxfxcdxD.()()dfxdxfxdx三、填空题（每空2分，共10分）1.设120kaaa,则极限12limnnnnknaaa_______________.2.无穷小量311x当0x时的阶为________,主要部分为___________.3.已知0'()1fx,则000lim(2)()xxfxxfxx___________.浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第3页共11页4.曲线231xtyt在0t处的切线方程是______________.5．设一曲线的切线斜率为25x,且经过点5(1,)3,则此曲线方程是_____________.四、计算题（每题7分，共35分）1）102235lim[()cossin]32nnnnnn(2)写出1()1fxx在01x点的带有皮亚诺形余项的泰勒展开式。(3)22330ln(1)sin1limxxxexx浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第4页共11页(4)设)0(''f存在,且1)(lim20xxfx，求)0(''),0('),0(fff的值.。（5）求xxedx。浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第5页共11页五、证明题（每题7分，共35分）(1)设)()(xgxf与在],[ba上都连续．试证：若)()(,)()(bgbfagaf，则必存在),(0bax，满足)()(00xgxf．(2)证明xxxfln)(在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：cbacbacbacba3,其中cba,,均为正数．浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第6页共11页(3)证明limnnx存在，并求出它其中11,,2,nnxcxcxn（4）设()fx在(0,)上可导，如果lim(()'()),xfxfxA求证：lim().xfxA。（5）叙述致密性定理、Cauchy准则并用致密性定理证明Cauchy准则。浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第7页共11页浙江工商大学2010/2011学年第一学期（A卷）答案一、判断题（每空2分，共10分）1、√2、×、3、×4、√5、√二、选择题（每题2分，共10分）1．A2.C3.B4.B5.D三、填空题（每空2分，共10分）1、ka2、313,2x3、14.、0y5.353yx四、计算题（每题7分，共35分）(1)因为10223lim[()]032nnn,cosn为有界量,55sinnn(4分)所以原式50limnnn5(7分)(2)111()12(1)212fxxx（2分）＝23111111[1()()()(1)()()]222222nnxxxxxo（4分）=23111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)248162nnnnxxxxox(7分)（3）由4224ln(1)()2xxxox（2分）333sin()xxox（4分）24241()2xxexox（6分）所以22330ln(1)sin1limxxxexx浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第8页共11页3330()lim1xxoxx（7分）（4）解：由题知在x的某邻域，(),'()fxfx连续且(0)0f。（1分）因为200()()/limlim1xxfxfxxxx（3分）所以00()(0)()'(0)limlim00xxfxffxfxx（5分）又00'()'(0)'()''(0)limlim00xxfxffxfxx存在，由罗必塔法则200()'()1limlim''(0)122xxfxfxfxx（6分）所以''(0)2f。（7分）（5）令tx,则2,2xtdxtdt(2分)2222()'xttxedxtedttedt224tttetedt224()'tttetedt(4分)2244tttteteedt2244tttteteeC(6分)244xxxxexeeC(7分)五、证明题（每题7分，共35分）（１）只需引入辅助函数：浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第9页共11页)()()(xgxfxh．易知)(xh在],[ba上连续，满足0)(,0)(bhah，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0bax，满足0)(0xh，即)()(00xgxf．（7分）（２）xxxfln)(的定义域为),0(，在其上满足：),0(,01)(,1ln)(xxxfxxf，（2分）所以)(xf为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数cba,,，恒有.)(ln)3(ln)lnlnln(31)3(ln3cbacbacbacbaccbbaacbacba（6分）最后借助函数xln的严格递增性，便证得不等式cbacbacbacba3．（7分）（3）（i）归纳证明1142ncx，假设其成立则11142nncxcxc（2分）（ii）nx单调递增，这是因为121nnnnnncxxcxxxx关于nx单调递增，故由（i）浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第10页共11页1211421114()2nnccxxc（4分）故由单调收敛定理nx极限存在，令limnnx，则AcA，所以11lim42nnxc（7分）（4）先设0A,因为lim(())'lim(()'())xxxxefxefxfx（2分）故lim()xxefx,根据罗必塔法则()lim()limlim()'()xxxxxefxfxfxfxAe（4分）同样可证0A的情况.（5分）对于0A的情况,可设()()1Fxfx,则有lim(()'())1xFxFx，由上面的讨论得到，lim()1xFx.即lim()0xfx.（7分）（5）致密性定理:有界数列存在收敛子列。Cauchy收敛准则：Cauchy数列等价于收敛数列。（2分）只须证明Cauchy数列为收敛数列。令nx为Cauchy数列，则易证nx为有界数列，从而存在收敛子列0knxx，故0，0N，,,nmN||nmxx。（4分）0K（不妨设KN）kK，0||knxx。浙江工商大学《数学分析（I）》课程考试试题,适用专业:数学,计算第11页共11页此时00||||||2kknnnnxxxxxx。（6分）此即0limnnxx。（7分）