浙江工商大学高等数学求导习题详解

1设)(0xf存在,求xxxfxxfx)2()(lim000.分析在导数)(0xf存在的条件下,将所求的极限化为导数定义的形式即可.解xxxfxxfx)2()(lim000xxfxxfxxfxxfx)()2()()(lim00000xxfxxfxxfxxfx2)()2(2)()(lim00000)(3)(2)(000xfxfxf.2设)(xf在2x处连续,且22)(lim2xxfx,求)2(f.分析本题只能用导数的定义来求,并且利用连续函数的性质.解为此,先求出)2(f.)2(f)(lim2xfx2)()2(lim2xxfxx02)(lim)2(lim22xxfxxx.)2(f2)2()(lim2xfxfx22)(lim2xxfx.3设xxfxcose)(,求)0(f.请指出下面解题中的错误,并写出正确的解法.分析本题是要考查对)(0xf的定义的理解.解10cose)0(0f,01)0()0(ff上面的解法是把)0(f错误理解为)0(f,实际上,)0(f应该是导函数)(xf在0x的值.正确的解法是:)sin(ecose)(xxxfxx,)0sin(e0cose)0(00f1.4单项选择题:设)(xf在点0x处可导,而)(xg在点0x处不可导,则在点0xx处().(A))()(xgxf必不可导,而)()(xgxf未必不可导；(B))()(xgxf和)()(xgxf都可导；(C))()(xgxf可导,且)()(xgxf不可导；(D))()(xgxf与)()(xgxf都不可导.分析本题是要考察导数的运算法则解因为)(xg)()()(xfxgxf,如果)()(xgxf可导,则由上式可推出)(xg可导,与已知矛盾.所以)()(xgxf必不可导,又如果0)(xf在0x可导,)(xxg在0x不可导,而0)()(xgxf在0x也可导.故)()(xgxf未必不可导.所以答案为(A).5单项选择题:如果)(af存在时,)()()(limaxxafaxfax.(A))(af；(B))()(afaaf；(C))(afa；(D))(afa.分析可以用导数的定义来考虑.解因为)()(limaxxafaxfaxaxaafxafaxaafaxfax)()()()(lim)()(afaaf.所以答案为(B).6设xxy12,用几种不同的方法求y.分析可以用几种不同的求导法则来进行比较,以后可以选择一种好的方法.解法一用商的求导法则22)(212xxxxxy2223xxx.解法二用乘积的求导法则])1([212xxy)21)(1(223221xxxx2223xxx.解法三先化简再用和的求导法则xxy122123xx23212123xxy.观察上述三种方法可知方法三最简单.7用复合函数的求导法则,求下列函数的导数.(1)2211sinxy；(2)21xxxy.分析复合函数的求导法则看起来不难,但实际上很容易犯错误,必须注意乘上中间变量的导数.解(1))11(sin11sin222xxy)11(11cos11sin2222xxx)1()11(12sin222xxx)1(121)11(12sin2222xxxx222122)11(12sinxxxx223212sin)1(xxx.(2))1(1122xxxxxy12)1(1222xxxxxxx222212)1(1121xxxxxxx22211121xxxxxxx.8设xxy31,求y.分析本题是幂指函数,用对数求导法.解由xxy3)1(两边求对数,得到:)1ln(ln3xxy，再两边对x求导,得到33313)1ln(xxxyy，3333131ln1xxxxyx9设函数)3)(2)(1()3)(2)(1()(xxxxxxxf,当3x时,求它的导数)(xf分析由于本题是多个因式作乘除,因此可以采用对数求导法.解当3x时,由)3)(2)(1()3)(2)(1()(xxxxxxxf两边求对数,得到:)3ln()2ln()1ln()(lnxxxxf)3ln()2ln()1ln(xxx,再两边对x求导,得到312111)()(xxxxfxf312111xxx.所以312111()()(xxxxfxf)312111xxx.)3)(2)(1()3)(2)(1(xxxxxx312111(xxx)312111xxx.如果此题求的不是)(xf,而是求)1(f,则可以用下例的方法比较简便.10设函数)3)(2)(1()3)(2)(1()(xxxxxxxf,求它的导数)1(f.分析由于0)1(f,且含有)1(x的因子,所以可以采用定义的方法.解1)1()(lim)1(1xfxffx121)3)(2)(1()3)(2(lim1xxxxxx.由此可以看出,求导的方法可以多种多样,应该根据具体的题目,选择一种比较简便的方法.11设1,1,)(2xbaxxxxf处处可导，求ba,的值.分析本题是分段函数的求导问题,只需考虑分界点的连续性及可导性.解由于)(xf在1x处,显然是可导的,所以只需考虑在1x处的可导性.因为)(xf在1x处连续ba1，ab1.又2)()1(12xxf,abaxfx1)()1(，而)(xf在1x处可导2a，于是1b.12单项选择题:设0)0(f,则)(xf在点0x可导的充分必要条件是().(A)20)cos1(limhhfh存在.(B)hfhh)e1(lim0存在.(C)230)(limhhfh存在.(Dhhfhfh)()2(lim0存在.分析注意:由于本题并没有)(xf在点0x处可导作为已知条件,所以在考虑充分条件时应该特别注意.解(A)由于2)cos1(hhf2cos1cos1)0()cos1(hhhfhf,(1)如果)(xf在点0x可导,说明hfhfhcos1)0()cos1(lim0存在,因为21cos1lim20hhh,所以20)cos1(limhhfh存在.如果20)cos1(limhhfh存在,因为021cos1lim20hhh,所以,由(1)式可知hfhfhcos1)0()cos1(lim0存在,因为0cos1h,即只能表示)(xf在点0x的右导存在,并不能说明)(xf在点0x可导.因此,)(xf在点0x可导只是20)cos1(limhhfh存在的充分条件.(B)由于hfh)e1(hffhhhe1e1)0()e1(,(2)如果)(xf在点0x可导,说明hhhffe1)0()e1(lim0存在,因为1e1lim0hhh,由(2)式可知,所以hfhh)e1(lim0存在.如果hfhh)e1(lim0存在,因为01e1lim0hhh,所以hhhffe1)0()e1(lim0存在,所以)(xf在点0x可导.因此,)(xf在点0x可导是20)cos1(limhhfh存在的充分必要条件.(C)用同样的方法可以说明)(xf在点0x可导是230)(limhhfh存在的充分条件,而不是必要条件.(D)同样,)(xf在点0x可导只是hhfhfh)()2(lim0存在的充分条件而不是必要条件.综上所述,本题的答案是(B).13设0,00,1sin)(2xxxxxf，求)(xf.分析这是一个分段函数的求导问题,当x不是分界点时,采用公式求导.当x是分界点时,往往采用定义的方法或采用求左、右导的方法.解当0x时,)(xf2211cos1sin2xxxxx.又,0)0()(lim)0(0xfxffx01sinlim01sinlim020xxxxxxx因此,0,00,11cos1sin2)(22xxxxxxxxf.14函数xxxxxf32)2()(的不可导点的个数是（）.(A)3(B)2(C)1(D)0分析本题技巧性较强,关键是,由导数定义可知,0xx在点0xx不可导,而00)(xxxx在点0xx可导.故对)(xf进行因式分解,并考察使03xx的点.解11)2)(1()(xxxxxxf，故)(xf在1,0xx不可导.在1x可导,所以,函数)(xf的不可导点的个数是两个.答案是(B).注:本题如果用定义来求的话,虽然也可以得到正确的结果,但太麻烦.15设)(xf可导,)sin1)(()(xxfxF,0)0(f.问)(xF在0x的可导性如何?分析本题只需要用定义来分析.解xxxfxFxFxx)sin1)((lim0)0()(lim00)0(0)0()(lim)sin1(0)0()(lim00fxfxfxxfxfxx.所以,)(xF在0x点可导.16设)()()(2xaxxf,其中)(x具有一阶连续导数,求)(af.分析抽象函数的求导往往采用定义求导.解)(x一阶可导,从而)(x连续.)()()()(2)(2xaxxaxxf,得到0)(af.axxaxxaxaxafxfafxax)()()()(2lim)()(lim)(20)(2)()()(2lim0axaxxx.而以下的方法是错误的:)()()()(2)(2xaxxaxxf)()(2)()()()(2)(2)(2xaxxaxxaxxxf.故)(2)(aaf.上述方法错误的原因是:并不知道)(x是否二阶可导,而这种错误,初学的同学是经常犯的.17已知曲线)(xfy与xysin在原点相切,求)2(limnfnn分析本题考查导数的几何意义及导数的定义.解因为曲线)(xfy与xysin在原点相切,所以它们的函数值与导数在0x点相同,从而推出0)0(f,10cos)(sin)0(0xxf又nfnfnfnnn1)0()2(lim)2(lim)1()0()2(lim0tntftft令2)0(22)0()2(2lim0ftftft故2)2(limnfnn.18单项选择题:设)(xf在0x的某邻域内有定义,且xxfcos1)(，则)(xf在0x处().（A）极限不存在.（B）极限存在但不连续.（C）连续但不可导.（D）可导.分析本题主要是从连续及可导的定义来考虑解xxfcos1)(，令0x，得0)0(f，即0)0(f，又0cos10)0()(00xxxxfxf，所以0)0(f，可导.答案为(D).19单项选择题:设0,)(0,cos1)(2xxgxxxxxf，其中)(xg是有界函数，则)(xf在0x处().（A）极限不